拋物線 $\Gamma: x^2 = 8y$ 可寫為 $x^2 = 4(2)y$，其焦距 $c = 2$。 因此其焦點為 $F(0, 2)$，準線為 $M: y = -2$。 根據拋物線定義，拋物線上任意點 $P(x, y)$ 到焦點 $F$ 的距離等於到準線 $M$ 的距離： $$PF = d(P, M) = y - (-2) = y + 2$$ 而點 $P$ 到直線 $L: y = -5$ 的距離為： $$d(P, L) = y - (-5) = y + 5 = (y + 2) + 3 = PF + 3$$ 將其代入目標式，我們要求 $\left|d(P, L) - \overline{AP}\right|$ 的最大值： $$\left|d(P, L) - \overline{AP}\right| = \left|PF + 3 - \overline{AP}\right| = \left|PF - \overline{AP} + 3\right|$$ 根據三角形的三角不等式，對任意點 $P$、焦點 $F$ 與已知點 $A$： $$|PF - \overline{AP}| \le AF$$ 且 $PF - \overline{AP} \le AF$。當且僅當 $P$、$A$、$F$ 三點共線，且 $F$ 介於 $A$ 與 $P$ 之間時，等號成立。 我們計算線段 $AF$ 的長度，其中 $A(\dfrac{9}{4}, 2)$，$F(0, 2)$： $$AF = \sqrt{\left(\dfrac{9}{4} - 0\right)^2 + (2 - 2)^2} = \dfrac{9}{4}$$ 因此 $PF - \overline{AP}$ 的最大值為 $AF$，而 $PF - \overline{AP} + 3 \ge 3 - AF = \dfrac{3}{4} > 0$，故絕對值內恆為正。 因此，$\left|d(P, L) - \overline{AP}\right|$ 的最大值為： $$AF + 3 = \dfrac{9}{4} + 3 = \dfrac{21}{4}$$ 故填 $\dfrac{21}{4}$。