對稱軸為 $x = 2$，這是一條開口向上或向下的拋物線。 設頂點為 $(2, k)$，其標準式為： $$(x - 2)^2 = 4c(y - k)$$ 因為拋物線 $\Gamma$ 通過點 $(8, 4)$，代入得關係式： $$(8 - 2)^2 = 4c(4 - k) \implies 36 = 4c(4 - k) \implies c(4 - k) = 9$$ 我們逐一檢驗各選項： (1) 正確：若頂點坐標為 $(2, 1) \implies k = 1$。 代入關係式：$c(4 - 1) = 9 \implies 3c = 9 \implies c = 3$。 焦點坐標為 $(2, k + c) = (2, 1 + 3) = (2, 4)$。 (2) 錯誤：若焦點坐標為 $(2, 12) \implies k + c = 12 \implies c = 12 - k$。 代入關係式：$(12 - k)(4 - k) = 9 \implies k^2 - 16k + 48 = 9 \implies k^2 - 16k + 39 = 0$。 因式分解為 $(k-3)(k-13) = 0$，故 $k = 3$ 或 $k = 13$。 頂點可能為 $(2, 3)$ 或 $(2, 13)$，因此頂點坐標不一定必為 $(2, 3)$。 (3) 正確：若拋物線也通過點 $(10, 11)$，代入方程式得： $$(10 - 2)^2 = 4c(11 - k) \implies 64 = 4c(11 - k) \implies c(11 - k) = 16$$ 聯立兩組關係式： $$\begin{cases} c(4 - k) = 9 \\ c(11 - k) = 16 \end{cases} \implies \begin{cases} 4c - ck = 9 \\ 11c - ck = 16 \end{cases}$$ 兩式相減得 $7c = 7 \implies c = 1$，代回得 $k = -5$。 準線方程式為 $y = k - c \implies y = -5 - 1 = -6 \implies y + 6 = 0$。 (4) 錯誤：頂點為 $(2, k)$，由 $c(4-k) = 9$ 可知 $4-k \neq 0 \implies k \neq 4$。 因此直線 $x = 2$ 上的點 $(2, 4)$ 不可能是頂點。 (5) 正確：設焦點坐標為 $(2, f)$，由 $k + c = f \implies k = f - c$，代入關係式： $$c(4 - f + c) = 9 \implies c^2 + (4 - f)c - 9 = 0$$ 此為 $c$ 的二次方程式，其判別式為 $D = (4 - f)^2 - 4(1)(-9) = (4 - f)^2 + 36$。 對任意實數 $f$，判別式 $D \ge 36 > 0$ 恆成立，即此方程必有實數解 $c$，也就是說對稱軸上的每個點都可能是焦點。 故選 $(1)(3)(5)$。