我們觀察圖中每邊 $n$ 個鋼珠時，正三角形、正方形、正五邊形陣列所需的鋼珠總數公式： 1. **正三角形陣列**： $n=1 \to 1$， $n=2 \to 3$， $n=3 \to 6$， $n=4 \to 10$ 所需鋼珠數為等差級數和： $T_n = 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ 2. **正方形陣列**： $n=1 \to 1$， $n=2 \to 4$， $n=3 \to 9$， $n=4 \to 16$ 所需鋼珠數為平方數： $S_n = n^2$ 3. **正五邊形陣列**： $n=1 \to 1$， $n=2 \to 5$， $n=3 \to 12$， $n=4 \to 22$ 增加的差值為 $4, 7, 10, \dots$（首項 $4$，公差 $3$ 的等差數列）。 所需鋼珠數為五角數： $P_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \dfrac{n(3n-1)}{2} = \dfrac{3n^2 - n}{2}$ 依題意列式： 1. $m$ 個鋼珠可排成一個正三角形與一個正方形陣列： $$m = T_n + S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} + n^2 = \dfrac{3n^2 + n}{2}$$ 2. 用這 $m$ 個鋼珠排成一個正五邊形陣列會多出 $9$ 個： $$m = P_n + 9 = \dfrac{3n^2 - n}{2} + 9$$ 將兩式相等以求解 $n$： $$\dfrac{3n^2 + n}{2} = \dfrac{3n^2 - n}{2} + 9 \implies 3n^2 + n = 3n^2 - n + 18 \implies 2n = 18 \implies n = 9$$ 將 $n = 9$ 代回求 $m$： $$m = \dfrac{3(9^2) + 9}{2} = \dfrac{243 + 9}{2} = 126$$ 故 $n = 9$，$m = 126$。