97指考數學甲選填第9題詳解

1. 每邊 $n$ 個鋼珠時，各陣列所需鋼珠數： \begin{aligned} \text{正三角形：}&T_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\\[4pt] \text{正方形：}&S_n=n^2\\[4pt] \text{正五邊形：}&P_n=\frac{n(3n-1)}{2} \end{aligned} 2. 依題意，$m$ 個鋼珠可排成正三角形和正方形各一個，排成正五邊形則多出 $9$ 個： \begin{aligned} T_n+S_n&=m\\[4pt] P_n&=m-9 \end{aligned} 3. 兩式相減消去 $m$： \begin{aligned} (T_n+S_n)-P_n&=9\\[4pt] \left(\frac{n(n+1)}{2}+n^2\right)-\frac{n(3n-1)}{2}&=9\\[4pt] \frac{n^2+n+2n^2-3n^2+n}{2}&=9\\[4pt] \frac{2n}{2}&=9\;\implies\;n=9 \end{aligned} 4. 因為 $n=9$，所以 $m=\frac{9\times 10}{2}+9^2=45+81=126$。 故 $n=9$，$m=126$。