87學測數學選填第15題詳解

1. 設 $BP=\sqrt{2}$，則 $PC=8-\sqrt{2}$。球以平行 $BA$ 的方向射出，撞擊到 $AC$ 邊上的點 $Q$。因為 $PQ \parallel BA$，且 $ABC$ 為正三角形，所以 $\triangle PQC$ 為正三角形，故第一段路徑長 $PQ=PC=8-\sqrt{2}$，且 $AQ=AC-QC=\sqrt{2}$。 2. 球在 $Q$ 點反彈後平行 $BC$ 撞擊到 $AB$ 邊上的點 $R$。同理，$\triangle AQR$ 為正三角形，故第二段路徑長 $QR=AQ=\sqrt{2}$，且 $BR=8-\sqrt{2}$。依圖中相同的平行反射路徑，六段長度依序為 $$(8-\sqrt{2}),\ \sqrt{2},\ (8-\sqrt{2}),\ \sqrt{2},\ (8-\sqrt{2}),\ \sqrt{2}.$$ 因此總長度為 $$3(8-\sqrt{2})+3\sqrt{2}=24.$$