87 學測數學第 16 題

Question

在等比數列 $\langle a_n \rangle$ 中，
$a_1=1$，
$a_4=2-\sqrt{5}$，
$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，$n\ge 1$，
則 $\langle a_n \rangle$ 的公比為 _______。

Accepted Answer

答案：$\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
設公比為 $r$。由 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ 得 $r^2=r+1$，故 $r=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。又 $a_4=r^3=2-\sqrt{5}$，因此 $r=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$。