114 學測數學A 第 7 題

Question

已知數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $3a_{n+1}=a_n+n$（對任意正整數 $n$ 都成立）且 $a_1=2$。令數列 $\langle b_n\rangle$ 滿足 $b_n=a_n-\dfrac{n}{2}+\dfrac{3}{4}$。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(2)(4)$
由 $3a_2=a_1+1=3$ 得 $a_2=1$，故 $b_2=1-1+\dfrac34=\dfrac34$。將 $a_n=b_n+\dfrac n2-\dfrac34$ 代入 $3a_{n+1}=a_n+n$，得 $b_{n+1}=\dfrac13b_n$，所以 $(3)$ 錯。由遞推式乘以 $3^n$ 可歸納 $3^na_n$ 為正整數。$b_{10}=\dfrac34\cdot3^{-8}>10^{-4}$，故正確為 $(2)(4)$。