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114_02A_q08
114 學測數學A 第 8 題
📅 114 年
📝 學測數學A
第 8 題
題型：多選
課綱：108課綱
考慮坐標平面上滿足方程式 $\dfrac{2^{x^2}}{8}=\dfrac{4^x}{2^{y^2}}$ 的點 $P(x,y)$，試選出正確的選項。
當 $x=3$ 時，滿足此方程式的解有相異 $2$ 個
若點 $(a,b)$ 滿足此方程式，則點 $(-a,-b)$ 也滿足此方程式
所有可能的點 $P(x,y)$ 構成的圖形為一個圓
點 $P(x,y)$ 可能在直線 $x+y=4$ 上
對於所有可能的點 $P(x,y)$，其 $x-y$ 的最大值為 $1+2\sqrt{2}$
指數方程
圓
指數對數
坐標幾何
指數與對數
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$(3)(5)$
詳解
同底比較指數：$x^2-3=2x-y^2$，即 $(x-1)^2+y^2=4$，所以圖形為圓。$x=3$ 時 $y=0$ 只有一解；圓不以原點為中心，故 $(2)$ 錯。直線 $x+y=4$ 與圓心距 $\dfrac{3}{\sqrt2}>2$，無交點。$x-y$ 的最大值為 $(1,0)\cdot(1,-1)+2\sqrt2=1+2\sqrt2$，故正確為 $(3)(5)$。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。