114學測數學A多選第9題詳解

條件：$x^2+bx+c=0$ 有實根（$b^2\ge4c$），$x^2+(b+2)x+c=0$ 無實根（$(b+2)^2<4c$）。 選項 $(1)$：兩條件聯立：$b^2\ge4c>(b+2)^2$，即 $(b+2)^2<b^2$，展開得 $4b+4<0$，所以 $b<-1$。且 $4c>(b+2)^2\ge0$，所以 $c>0$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：如上，$b<-1<0$，所以 $(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$x^2+(b+1)x+c=0$ 的判別式為 $(b+1)^2-4c$。取 $b=-2$、$c=1$ 滿足原條件（$4-4=0\ge0$，$0-4<0$），此時判別式 $1-4=-3<0$，無實根，所以 $(3)$ 不一定正確。 選項 $(4)$：$x^2+(b+2)x-c=0$ 的判別式為 $(b+2)^2+4c$。因為 $c>0$，判別式 $>0$，所以必有實根。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$x^2+(b-2)x+c=0$ 的判別式為 $(b-2)^2-4c=(b^2-4c)-4b+4$。因為 $b^2\ge4c$ 且 $-4b>4$（$b<-1$），所以判別式 $>8>0$，必有實根。$(5)$ 正確。 故選 $(2)(4)(5)$。