95指考數學甲單選第1題詳解

1. 令 $u = x^2+x+1$，則原方程式可寫成： $$u^3+1=0 \implies (u+1)(u^2-u+1)=0$$ 2. 其唯一的實數解為 $u=-1$。將 $u=x^2+x+1$ 代回，得： $$x^2+x+1=-1 \implies x^2+x+2=0$$ 3. 檢驗此二次方程的判別式： $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 2 = -7 < 0$$ 故方程式 $x^2+x+2=0$ 沒有實數解。 因此，原方程式的相異實數解個數為 $0$ 個，故選 $(1)$。