114學測數學A選填第16題詳解

$L_1$ 通過 $(3,1)$ 且斜率為 $m$，方程式為 $mx-y-3m+1=0$。因為原點到 $L_1$ 的距離為 $1$，所以 $$\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1$$ 平方得 $(1-3m)^2=m^2+1$，即 $8m^2-6m=0$，$2m(4m-3)=0$。$m=0$ 或 $m=\frac{3}{4}$。 若 $m=0$：$L_1$ 為 $y=1$，$L_2$ 斜率 $-m=0$ 亦為水平線。原點到 $y=1$ 距離為 $1$，此時圓 $\Gamma$ 若與 $L_2$ 相切則 $r=1$，$L_1$ 到原點距離也為 $1$，$L_1$ 與圓相切，弦長為 $0$，不符合題意「$L_1$ 交圓得弦長 $2\sqrt{2}$」。故 $m=0$ 不合。 取 $m=\frac{3}{4}$。$L_1$ 為 $3x-4y-5=0$，$L_2$ 斜率為 $-\frac{3}{4}$ 且通過 $(-3,-1)$，方程式為 $3x+4y+13=0$。 因為 $L_2$ 與圓 $\Gamma$ 相切，原點到 $L_2$ 的距離即為半徑 $r$： $$r=\frac{|3\cdot0+4\cdot0+13|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{13}{5}$$ $L_1$ 與 $\Gamma$ 的弦長：原點到 $L_1$ 的距離為 $d_1=\frac{|3\cdot0-4\cdot0-5|}{5}=1$。因為弦心距為 $1$，半徑為 $\frac{13}{5}$，所以弦長為 $2\sqrt{r^2-d_1^2}=2\sqrt{\frac{169}{25}-1}=2\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{24}{5}$。 故 $r=\frac{13}{5}$，弦長為 $\frac{24}{5}$。