114 學測數學A 第 16 題

Question

坐標平面上，設 $L_1$、$L_2$ 為通過點 $(3,1)$ 且斜率分別為 $m$、$-m$ 的兩條直線，其中 $m$ 為一實數。另設 $\Gamma$ 為圓心在原點的一個圓。已知 $\Gamma$ 與 $L_1$ 交於相異兩點 $A$、$B$，且知圓心到 $L_1$ 的距離為 $1$，又 $\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，則弦 $\overline{AB}$ 的長度為 ____。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{24}{5}$
$L_1:mx-y-3m+1=0$，$L_2:mx+y-3m-1=0$。由原點到 $L_1$ 距離為 $1$，得 $\dfrac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1$，解得可行 $m=\dfrac34$。因 $\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，半徑 $r=\dfrac{|3m+1|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{13}{5}$。弦 $\overline{AB}$ 到圓心距離為 $1$，故 $\overline{AB}=2\sqrt{r^2-1}=\dfrac{24}{5}$。