114 學測數學A 第 15 題

Question

假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 $480$ 元的可愛玩偶最低只要 $240$ 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 $5$ 次，前 $3$ 次連續擲得 $3$ 個正面者則只能以 $240$ 元購得一個玩偶，擲到第 $4$ 次才累積得 $3$ 個正面者則只能以 $320$ 元購得一個，擲到第 $5$ 次才累積得 $3$ 個正面者則只能以 $400$ 元購得一個；$5$ 次投完仍未累積 $3$ 個正面者則只能以 $480$ 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 ____ 元。

Accepted Answer

答案：$405$
第 $3$ 次達成機率為 $\dfrac18$。第 $4$ 次才累積 $3$ 個正面，機率為 $\binom32\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}$。第 $5$ 次才累積 $3$ 個正面，機率為 $\binom42\dfrac{1}{32}=\dfrac{3}{16}$。其餘機率為 $\dfrac12$。期望值 $=240\cdot\dfrac18+320\cdot\dfrac{3}{16}+400\cdot\dfrac{3}{16}+480\cdot\dfrac12=405$。