103 指考數學甲第 7 題

Question

職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值 $p$，以 $f\left(p\right)$ 表實際比賽場數的期望值（其中 $0\le p\le1$），請選出正確的選項：

Accepted Answer

答案：$(1)(3)(4)$
$P\left(N=3\right)=p^3+\left(1-p\right)^3$，故 $(1)$ 對。$P\left(N=4\right)=3p^3\left(1-p\right)+3p\left(1-p\right)^3$，$P\left(N=5\right)=6p^2\left(1-p\right)^2$，所以 $f\left(p\right)=3P\left(N=3\right)+4P\left(N=4\right)+5P\left(N=5\right)$，為至多四次多項式，常數項為 $3$。由對稱性與打滿機率在 $p=\dfrac{1}{2}$ 最大可知期望場數在 $p=\dfra…