103指考數學甲多選第8題詳解

令 $A = 2^x$、$B = 3^y$、$C = 5^z$（皆為正數）。 原方程組變為： $\begin{cases} A - B + C = -1 \\ 2A + B - C = 4 \\ 2A + 3B + aC = 8 \end{cases}$ 前兩式相加：$(A-B+C) + (2A+B-C) = (-1) + 4$，得 $3A = 3$，即 $A = 1$。 因為 $A = 2^x = 1$，所以 $x = 0$。 代入第一式：$1 - B + C = -1$，得 $C = B - 2$。 因為 $C = 5^z > 0$，所以 $B - 2 > 0$，即 $B > 2$，亦即 $3^y > 2$，得 $y > 0$。 $(1)$ $x = 0$，正確。 $(2)$ $y > 0$，正確。 $(3)$ $B,C$ 的值尚需由第三式決定，不一定為唯一解，錯誤。 $(4)$ 代入第三式：$2 \cdot 1 + 3B + a(B-2) = 8$，即 $(3+a)B - 2a = 6$。若 $a = -3$，則 $-2(-3) = 6$，$6 = 6$ 恆成立，此時 $B$ 不唯一，錯誤。 $(5)$ 不一定成立，錯誤。 因此正確選項為 $(1)(2)$。