103 指考數學甲第 8 題

Question

考慮 $x,y,z$ 的方程組 $\begin{cases} 2^x-3^y+5^z=-1 \ 2^{x+1}+3^y-5^z=4 \ 2^{x+1}+3^{y+1}+a5^z=8 \end{cases}$，其中 $a$ 為實數。請選出正確的選項：

Accepted Answer

答案：$(1)(2)$
令 $A=2^x$、$B=3^y$、$C=5^z$，則 $A,B,C>0$。前兩式相加得 $3A=3$，故 $A=1$，所以 $x=0$。又由前兩式得 $C=B-2$，因 $C>0$，故 $B>2$，所以 $y>0$。第三式化為 $2+3B+aC=8$，即 $\left(a+3ight)B=2\left(a+3ight)$。若 $a
e-3$，得 $B=2$，與 $C>0$ 矛盾；若 $a=-3$，有無限多組且不形成 $\left(x,y,zight)$ 空間中的直線。