103學測數學選填第16題詳解

因為直線 $CD$ 通過 $C(-2,4,0)$，所以其方向向量為：$$\overset{\large\rightharpoonup}{CD} = (-1 - (-2), \ 3 - 4, \ 1 - 0) = (1, -1, 1)$$ 設點 $P$ 在直線 $CD$ 上的參數式為：$$P(t) = (-2 + t, \ 4 - t, \ t)，\ t \text{ 為實數}$$ 寫出向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{PB}$ 的坐標表示： - $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = A - P = (2 - (-2+t), \ 0 - (4-t), \ 0 - t) = (4-t, \ t-4, \ -t)$$ - $$\overset{\large\rightharpoonup}{PB} = B - P = (3 - (-2+t), \ 4 - (4-t), \ 2 - t) = (5-t, \ t, \ 2-t)$$ 計算向量內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB}$： $$\begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} &= (4-t)(5-t) + (t-4)t + (-t)(2-t) \\[4pt] &= (t^2 - 9t + 20) + (t^2 - 4t) + (t^2 - 2t) = 3t^2 - 15t + 20 \end{aligned}$$ 求此二次函數在 $t \in \mathbb{R}$ 上的最小值，進行配方： $$3t^2 - 15t + 20 = 3\left(t^2 - 5t\right) + 20 = 3\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{75}{4} + 20 = 3\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$$ 當 $t = \frac{5}{2}$ 時，內積有最小值 $\frac{5}{4}$。 故填 $\frac{5}{4}$。