坐標空間中有四點 $A(2,0,0)$、$B(3,4,2)$、$C(-2,4,0)$ 與 $D(-1,3,1)$。若點 $P$ 在直線 $CD$ 上變動，則內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB}$ 之最小可能值為 ____。(化為最簡分數)
詳解
1. 直線 $CD$ 通過 $C(-2,4,0)$，其方向向量為：$$\overset{\large\rightharpoonup}{CD} = (-1 - (-2), \ 3 - 4, \ 1 - 0) = (1, -1, 1)$$
設點 $P$ 在直線 $CD$ 上的參數式為：$$P(t) = (-2 + t, \ 4 - t, \ t)，\ t \text{ 為實數}$$2. 寫出向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{PB}$ 的坐標表示：
- $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = A - P = (2 - (-2+t), \ 0 - (4-t), \ 0 - t) = (4-t, \ t-4, \ -t)$$
- $$\overset{\large\rightharpoonup}{PB} = B - P = (3 - (-2+t), \ 4 - (4-t), \ 2 - t) = (5-t, \ t, \ 2-t)$$3. 計算向量內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB}$：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (4-t)(5-t) + (t-4)t + (-t)(2-t)$$
$$= (t^2 - 9t + 20) + (t^2 - 4t) + (t^2 - 2t) = 3t^2 - 15t + 20$$4. 求此二次多項式的最小值。進行配方得：
$$3t^2 - 15t + 20 = 3\left(t^2 - 5t\right) + 20 = 3\left(t - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{75}{4} + 20 = 3\left(t - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4}$$當 $t = \dfrac{5}{2}$ 時，內積有最小值 $\dfrac{5}{4}$。
故填 $\dfrac{5}{4}$。