我們首先求出兩平面交線 $L$ 的參數式，接著利用配方法求得距離最近點的坐標： 1. **求解兩平面交線 $L$ 的參數式**： 聯立兩平面方程式： $$\begin{cases} x - y + z = 1 & (1) \\ x + y - z = 1 & (2) \end{cases}$$ 將 $(1) + (2)$ 兩式相加，消去 $y$ 與 $z$： $$2x = 2 \implies x = 1$$ 將 $x = 1$ 代回式 $(1)$ 得： $$1 - y + z = 1 \implies y = z$$ 我們引入參數 $t$，令 $y = z = t$。則直線 $L$ 的參數式為： $$L: \begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{cases} \ \ (t \in \mathbb{R})$$ 2. **求直線 $L$ 上一點與已知點 $A(1, 2, 3)$ 的距離平方**： 設直線 $L$ 上的任意點為 $P(1, t, t)$。其與點 $A$ 的距離平方 $d^2$ 為： $$d^2 = (1 - 1)^2 + (t - 2)^2 + (t - 3)^2 = 0 + \left(t^2 - 4t + 4\right) + \left(t^2 - 6t + 9\right)$$ $$d^2 = 2t^2 - 10t + 13$$ 3. **使用配方法求最小值**： $$d^2 = 2\left(t^2 - 5t\right) + 13 = 2\left(t^2 - 5t + \dfrac{25}{4}\right) + 13 - \dfrac{25}{2} = 2\left(t - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}$$ 由此可知，當 $t = \dfrac{5}{2}$ 時，距離平方有最小值 $\dfrac{1}{2}$，此時距離最近。 4. **得出最近點坐標**： 將 $t = \dfrac{5}{2}$ 代入 $P$ 點的坐標中，可得： $$\left(1, \dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$$