107學測數學多選第11題詳解

由直線 $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z}{-1}$ 得方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (2, -3, -1)$，且過點 $(1, 2, 0)$。 平面 $E_1$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (2, -3, -1)$。 平面 $E_2$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (1, 1, -1)$。 選項 $(1)$：將 $(3, 0, -1)$ 代入 $L$ 的對稱比例式：$\frac{3-1}{2} = 1$，$\frac{0-2}{-3} = \frac{2}{3} \neq 1$。因為各分量比值不相等，所以點不在 $L$ 上。 選項 $(2)$：將 $(1, 2, 3)$ 代入 $E_1$：$2(1) - 3(2) - 3 = -7 \neq 0$。因為不滿足平面方程式，所以點不在 $E_1$ 上。 選項 $(3)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (2, -3, -1) = \overset{\large\rightharpoonup}{n}_1$，即 $L$ 的方向向量與 $E_1$ 的法向量平行，所以 $L \perp E_1$。（正確） 選項 $(4)$：先計算 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = 2 \times 1 + (-3) \times 1 + (-1) \times (-1) = 2 - 3 + 1 = 0$，表示 $L$ 平行 $E_2$ 或落在 $E_2$ 上。取 $L$ 上一點 $(1, 2, 0)$ 代入 $E_2$：$1 + 2 - 0 = 3 \neq 0$。因為該點不在 $E_2$ 上，所以 $L$ 不在 $E_2$ 上。 選項 $(5)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (2, -3, -1)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (1, 1, -1)$ 各分量不成比例（不平行），所以兩平面必交於一直線。（正確） 故選 $(3)(5)$。