（一）首先計算向量 $\overset{\rightharpoonup}{OA}$ 的長度： $|\overset{\rightharpoonup}{OA}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$ 根據內積定義： $$\overset{\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = |\overset{\rightharpoonup}{OA}| |\overset{\rightharpoonup}{OP}| \cos 60^\circ = 2 \times 2 \times \dfrac{1}{2} = 2$$ （二）設 $P$ 點坐標為 $(x, y, z)$，則 $\overset{\rightharpoonup}{OP} = (x, y, z)$。 由 $\overset{\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = 2$ 可得： $1 \cdot x + \sqrt{2} \cdot y + 1 \cdot z = 2 \implies x + \sqrt{2}y + z = 2$ 故平面 $E$ 的方程式為 $x + \sqrt{2}y + z = 2$。 （三）設 $Q(x, y, z)$。由 $\overset{\rightharpoonup}{OQ}$ 與 $\overset{\rightharpoonup}{OB}$ 之夾角為 $60^\circ$ 且 $|\overset{\rightharpoonup}{OQ}|=2, |\overset{\rightharpoonup}{OB}|=2$： $$\overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OQ} = (2, 0, 0) \cdot (x, y, z) = 2x = 2 \times 2 \times \cos 60^\circ = 2 \implies x = 1$$ 同理，$\overset{\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OQ} = x + \sqrt{2}y + z = 2$。將 $x=1$ 代入： $1 + \sqrt{2}y + z = 2 \implies \sqrt{2}y + z = 1$ 直線 $L$ 為兩平面 $x=1$ 與 $\sqrt{2}y+z=1$ 的交線。其方向向量可由兩平面法向量的外積求得： $$(1, 0, 0) \times (0, \sqrt{2}, 1) = (0, -1, \sqrt{2})$$ 可取直線 $L$ 的方向向量為 $(0, 1, -\sqrt{2})$。 （四）$Q$ 點坐標滿足 $x=1, z=1-\sqrt{2}y$ 且 $x^2 + y^2 + z^2 = |\overset{\rightharpoonup}{OQ}|^2 = 4$： $$1^2 + y^2 + (1-\sqrt{2}y)^2 = 4$$ $$1 + y^2 + (1 - 2\sqrt{2}y + 2y^2) = 4 \implies 3y^2 - 2\sqrt{2}y - 2 = 0$$ 使用公式解： $$y = \dfrac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4(3)(-2)}}{6} = \dfrac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{6} = \dfrac{2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{6}$$ 得 $y = \sqrt{2}$ 或 $y = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}$。 - 當 $y = \sqrt{2}$ 時，$z = 1 - \sqrt{2}(\sqrt{2}) = -1$，$Q$ 點為 $(1, \sqrt{2}, -1)$。 - 當 $y = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ 時，$z = 1 - \sqrt{2}(-\dfrac{\sqrt{2}}{3}) = \dfrac{5}{3}$，$Q$ 點為 $(1, -\dfrac{\sqrt{2}}{3}, \dfrac{5}{3})$。