一個邊長為 1 的正立方體 $ABCD-EFGH$，點 $P$ 為稜邊 $\overline{CG}$ 的中點，點 $Q、R$ 分別在稜邊 $\overline{BF}、\overline{DH}$ 上，且 $A,Q,P,R$ 為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。
今設定坐標系，使得 $D、A、C、H$ 的坐標分別為 $(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)$，且 $\overline{BQ} = t$，試回答下列問題。
(1) 試求點 $P$ 的坐標。
(2) 試求向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AR}$（以 $t$ 的式子來表示）。
(3) 試證明四角錐 $G-AQPR$ 的體積是一個定值（與 $t$ 無關），並求此定值。
(4) 當 $t = \dfrac{1}{4}$ 時，求點 $G$ 到平行四邊形 $AQPR$ 所在平面的距離。
正立方體與平行四邊形 AQPR 示意圖
詳解
(1) 由題意知 $C(0,1,0)$ 且 $G(0,1,1)$，點 $P$ 為 $\overline{CG}$ 中點，故 $P$ 的坐標為 $(0, 1, \dfrac{1}{2})$。
(2) $Q$ 在 $\overline{BF}$ 上且 $\overline{BQ} = t$，故 $Q$ 坐標為 $(1, 1, t)$。
在平行四邊形 $AQPR$ 中，$\overset{\large\rightharpoonup}{AR} = \overset{\large\rightharpoonup}{QP} = P - Q = (0-1, 1-1, \dfrac{1}{2}-t) = (-1, 0, \dfrac{1}{2}-t)$。
(3) 四角錐 $G-AQPR$ 的體積為 $\dfrac{1}{3} \times (\text{平行四邊形 } AQPR \text{ 面積}) \times (\text{點 } G \text{ 到平面 } AQPR \text{ 距離})$。
此體積亦可用六面體體積之 $\dfrac{1}{3}$ 表示，或使用三階行列式：
$\overset{\large\rightharpoonup}{AQ} = (0, 1, t)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{AR} = (-1, 0, \dfrac{1}{2}-t)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{AG} = (-1, 1, 1)$。
體積 $V = \dfrac{1}{3} |\overset{\large\rightharpoonup}{AG} \cdot (\overset{\large\rightharpoonup}{AQ} \times \overset{\large\rightharpoonup}{AR})|$
$\overset{\large\rightharpoonup}{AQ} \times \overset{\large\rightharpoonup}{AR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & t \\ -1 & 0 & \dfrac{1}{2}-t \end{vmatrix} = (\dfrac{1}{2}-t, -t, 1)$
$\overset{\large\rightharpoonup}{AG} \cdot (\overset{\large\rightharpoonup}{AQ} \times \overset{\large\rightharpoonup}{AR}) = (-1)(\dfrac{1}{2}-t) + 1(-t) + 1(1) = -\dfrac{1}{2} + t - t + 1 = \dfrac{1}{2}$
故體積 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$，為一定值。
(4) 當 $t = \dfrac{1}{4}$ 時，平面 $AQPR$ 的法向量 $\mathbf{n} = (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{4}, 1) = (\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{4}, 1)$，取 $(1, -1, 4)$。
平面方程式（過 $A(1,0,0)$）：$1(x-1) - 1(y-0) + 4(z-0) = 0 \implies x - y + 4z - 1 = 0$。
點 $G(0,1,1)$ 到平面的距離 $d = \dfrac{|0 - 1 + 4(1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{18}} = \dfrac{2}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$。