設 $\Delta ABC$ 的三頂點坐標分別為 $A(-2,7,15)$、 $B(1,16,3)$、 $C(10,7,3)$。
(1) 試求通過 $A$、 $B$、 $C$ 三點的平面方程式。（$5$ 分）
(2) 試求 $\Delta ABC$ 的外心坐標。（$5$ 分）
詳解
**(1) 試求通過 $A, B, C$ 三點的平面方程式**：
我們先求出兩條共面向量：
$$\overline{AB} = B - A = (1 - (-2), \ 16 - 7, \ 3 - 15) = (3, \ 9, \ -12)$$
$$\overline{AC} = C - A = (10 - (-2), \ 7 - 7, \ 3 - 15) = (12, \ 0, \ -12)$$
為了計算方便，將兩向量除以公因數進行簡化：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{u} = \dfrac{1}{3} \overline{AB} = (1, \ 3, \ -4)$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v} = \dfrac{1}{12} \overline{AC} = (1, \ 0, \ -1)$$
平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 為這兩向量的外積：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n} = \overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (3 \times (-1) - 0)\hat{i} - (1 \times (-1) - 1 \times (-4))\hat{j} + (1 \times 0 - 3 \times 1)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$$
我們可以選擇平行的最簡法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (1, 1, 1)$。
因此，通過 $A(-2, 7, 15)$ 的平面方程式為：
$$1(x - (-2)) + 1(y - 7) + 1(z - 15) = 0$$
$$x + y + z - 20 = 0$$
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**(2) 試求 $\Delta ABC$ 的外心坐標**：
設外心坐標為 $P(x, y, z)$。
因為外心位於三角形所在的平面上，故滿足：
$$x + y + z = 20 \ \text{--- (式 1)}$$
又外心到三頂點等距離，故滿足 $PA^2 = PB^2 = PC^2$。
我們寫出距離平方的表達式：
$$PA^2 = (x+2)^2 + (y-7)^2 + (z-15)^2$$
$$PB^2 = (x-1)^2 + (y-16)^2 + (z-3)^2$$
$$PC^2 = (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2$$
1. **由 $PB^2 = PC^2$**：
$$(x-1)^2 + (y-16)^2 + (z-3)^2 = (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2$$
約去 $(z-3)^2$ 並展開整理：
$$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 32y + 256) = (x^2 - 20x + 100) + (y^2 - 14y + 49)$$
$$-2x - 32y + 257 = -20x - 14y + 149$$
$$18x - 18y = -108 \implies x - y = -6 \implies y = x + 6 \ \text{--- (式 2)}$$
2. **由 $PA^2 = PC^2$**：
$$(x+2)^2 + (y-7)^2 + (z-15)^2 = (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2$$
約去 $(y-7)^2$ 並展開整理：
$$(x^2 + 4x + 4) + (z^2 - 30z + 225) = (x^2 - 20x + 100) + (z^2 - 6z + 9)$$
$$4x - 30z + 229 = -20x - 6z + 109$$
$$24x - 24z = -120 \implies x - z = -5 \implies z = x + 5 \ \text{--- (式 3)}$$
3. **將式 (2) 與式 (3) 代入式 (1)**：
$$x + (x + 6) + (x + 5) = 20$$
$$3x + 11 = 20 \implies 3x = 9 \implies x = 3$$
進而求得：
$$y = 3 + 6 = 9$$
$$z = 3 + 5 = 8$$
經代回計算驗證 $PA^2 = PB^2 = PC^2 = 78$，且 $3+9+8=20$。
故 $\Delta ABC$ 的外心坐標為 $(3, 9, 8)$。