坐標空間中有一個正立方體 $ABCDEFGH$，如圖所示（此為示意圖），試回答下列問題。
$(1)$ 試證明 $A$ 點到平面 $BDE$ 的距離是對角線 $AG$ 長度的三分之一。（$4$ 分）
$(2)$ 試證明向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AG}$ 與平面 $BDE$ 垂直。（$2$ 分）
$(3)$ 如果知道平面 $BDE$ 的方程式為 $2x+2y-z=-7$，且 $A$ 點坐標為 $(2,2,6)$，試求出 $A$ 點到平面 $BDE$ 的距離。（$2$ 分）
$(4)$ 承 $(3)$，試求出 $G$ 點的坐標。（$4$ 分）
正立方體示意圖
詳解
$(1)$ 設正立方體邊長為 $L$，可取 $A(L,L,L)$、$B(L,0,L)$、$D(0,L,L)$、$E(L,L,0)$、$G(0,0,0)$。平面 $BDE$ 的方程式為 $x+y+z=2L$。因此 $A$ 到平面 $BDE$ 的距離為 $\dfrac{|3L-2L|}{\sqrt{3}}=\dfrac{L}{\sqrt{3}}$，而 $AG=L\sqrt{3}$，所以距離為 $AG$ 的三分之一。
$(2)$ 由上列座標，$\overset{\large\rightharpoonup}{AG}=(-L,-L,-L)$，而平面 $BDE$ 的法向量可取 $(1,1,1)$，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{AG}$ 與平面 $BDE$ 垂直。
$(3)$ 平面 $BDE$ 可寫為 $2x+2y-z+7=0$。點 $A(2,2,6)$ 到此平面的距離為
$$\dfrac{|2\cdot2+2\cdot2-6+7|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{9}{3}=3.$$
$(4)$ 平面法向量為 $(2,2,-1)$，其長度為 $3$。由 $(1)$ 知 $AG=3\times 3=9$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{AG}$ 與法向量平行。由圖中 $G$ 在平面 $BDE$ 的另一側，
$$G=A-9\cdot\dfrac{(2,2,-1)}{3}=(2,2,6)-(6,6,-3)=(-4,-4,9).$$