107指考數學甲選填第11題詳解

1. 設圓心為 $O$，半徑 $R=\frac{7}{2}$。設 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 $P$ 點，且 $\overline{AC}\perp\overline{BD}$。 2. 因為圓內兩弦 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 垂直相交，所以對應的弧度滿足 $\text{arc}(\overline{AB})+\text{arc}(\overline{CD})=180^\circ$。 3. 設 $\angle AOB=\alpha$，則 $\angle COD=180^\circ-\alpha$。由弦長公式： $$\overline{\overline{AB}}=2R\sin\frac{\alpha}{2}=5$$ $$\overline{\overline{CD}}=2R\sin\frac{180^\circ-\alpha}{2}=2R\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=2R\cos\frac{\alpha}{2}$$ 4. 因為 $\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=1$，所以 $$\left(\frac{5}{2R}\right)^2+\left(\frac{\overline{\overline{CD}}}{2R}\right)^2=1\implies 25+\overline{\overline{CD}}^2=(2R)^2=49$$ $$\implies\overline{\overline{CD}}^2=24\implies\overline{\overline{CD}}=2\sqrt{6}$$ 故填 $2\sqrt{6}$。