因 $\overline{AB}$ 為直徑，且點 $P$ 在該圓上，故 $\angle APB = 90^\circ$。 設 $B = (x, y)$。向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = (1-4, 1-2) = (-3, -1)$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (x-4, y-2)$。 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = 0$ 得： $-3(x-4) - (y-2) = 0 \implies y-2 = -3(x-4) \implies y = -3x + 14$。 已知 $\overline{PB} = 3\sqrt{10}$，則 $\overline{PB}^2 = 90$： $(x-4)^2 + (y-2)^2 = 90$ 將 $y-2 = -3(x-4)$ 代入： $(x-4)^2 + [-3(x-4)]^2 = 90$ $10(x-4)^2 = 90 \implies (x-4)^2 = 9 \implies x-4 = 3 \text{ 或 } -3$ 1. 若 $x-4 = 3$，則 $x = 7$，$y = -3(7) + 14 = -7$。點 $(7, -7)$ 位於第四象限，符合題意。 2. 若 $x-4 = -3$，則 $x = 1$，$y = -3(1) + 14 = 11$。點 $(1, 11)$ 位於第一象限，不符。 故點 $B$ 的坐標為 $(7, -7)$。