83學測數學選填第15題詳解

先將圓配方： $$(x+1)^2+y^2=4,$$ 所以圓心為 $C(-1,0)$、半徑為 $2$。直線 $y=mx+3$ 整理為 $mx-y+3=0$。 因為相切，所以圓心到直線的距離等於半徑： $$\frac{|m(-1)-0+3|}{\sqrt{m^2+1}}=2.$$ 兩邊平方得 $$(3-m)^2=4(m^2+1)\implies3m^2+6m-5=0.$$ 因此 $$m=\frac{-6\pm\sqrt{36+60}}{6}=\frac{-3\pm2\sqrt6}{3}.$$ 故 $m=\frac{-3\pm2\sqrt6}{3}$。