我們利用「圓心到直線的距離等於半徑」的性質來求解： 1. **將圓的方程式配方**： $$x^2 + y^2 + 2x = 3 \implies (x^2 + 2x + 1) + y^2 = 3 + 1 \implies (x + 1)^2 + y^2 = 4$$ 由此可知，圓心為 $C(-1, 0)$，半徑 $r = 2$。 2. **整理直線方程式一般式**： $$L: mx - y + 3 = 0$$ 3. **利用點到直線距離公式**： 直線 $L$ 與圓相切，代表圓心 $C$ 到 $L$ 的距離 $d$ 必等於半徑 $r = 2$： $$d = \dfrac{|m(-1) - 0 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \implies \dfrac{|3 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$$ 將分母移項： $$|3 - m| = 2\sqrt{m^2 + 1}$$ 4. **兩邊平方求解 $m$**： $$(3 - m)^2 = 4\left(m^2 + 1\right) \implies 9 - 6m + m^2 = 4m^2 + 4$$ 將所有項移至右側整理： $$3m^2 + 6m - 5 = 0$$ 利用一元二次方程式公式解求 $m$： $$m = \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 3 \times (-5)}}{2 \times 3} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 60}}{6} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{96}}{6}$$ 簡化根式： $$\sqrt{96} = 4\sqrt{6} \implies m = \dfrac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{6} = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}$$ 因此，相切時 $m = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}$。