95指考數學乙單選第1題詳解

圓心為 $C(3,4)$，半徑為 $5$。 對於形如 $ux+vy=c$ 的直線，圓心到直線的距離為 $$\frac{|3u+4v-c|}{\sqrt{u^2+v^2}}.$$ 因為直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等於半徑，所以當此距離等於 $5$ 時，直線才與圓相切。 接著逐一檢查各選項： 我們利用點到直線距離公式計算各選項直線與圓心的距離 $d$： $(1)$ 直線 $3x+4y=5$： $$d = \dfrac{|3(3) + 4(4) - 5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{|9+16-5|}{5} = \dfrac{20}{5} = 4 \neq 5$$ $(2)$ 直線 $3x+4y=0$： $$d = \dfrac{|3(3) + 4(4)|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{|9+16|}{5} = \dfrac{25}{5} = 5 = R$$ $(3)$ 直線 $4x+3y=5$： $$d = \dfrac{|4(3) + 3(4) - 5|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \dfrac{|12+12-5|}{5} = \dfrac{19}{5} = 3.8 \neq 5$$ $(4)$ 直線 $4x+3y=0$： $$d = \dfrac{|4(3) + 3(4)|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \dfrac{|12+12|}{5} = \dfrac{24}{5} = 4.8 \neq 5$$ $(5)$ 直線 $4x+3y=1$： $$d = \dfrac{|4(3) + 3(4) - 1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \dfrac{|12+12-1|}{5} = \dfrac{23}{5} = 4.6 \neq 5$$ 因此，只有直線 $3x+4y=0$ 到圓心的距離等於半徑 $5$，即該直線與圓相切，故選 $(2)$。