（1） 利用橢圓切線的幾何定理：兩焦點到任意切線的垂直距離乘積，等於半短軸長平方，即： $$d(F_1, L) \times d(F_2, L) = b^2$$ 切線方程式為 $y = x + \sqrt{2} \implies x - y + \sqrt{2} = 0$，兩焦點為 $F_1(0,0)$ 與 $F_2(4,4)$。 1. 計算 $F_1(0,0)$ 到切線的距離 $d_1$： $$d_1 = \dfrac{|0 - 0 + \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$$ 2. 計算 $F_2(4,4)$ 到切線的距離 $d_2$： $$d_2 = \dfrac{|4 - 4 + \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$$ 3. 得到半短軸長之平方為： $$b^2 = d_1 \times d_2 = 1 \times 1 = 1$$ 4. 計算焦點間距 $2c$： $$2c = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \implies c = 2\sqrt{2} \implies c^2 = 8$$ 5. 依橢圓關係式 $a^2 = b^2 + c^2$，求得半長軸長平方 $a^2$： $$a^2 = 1 + 8 = 9 \implies a = 3$$ 故此橢圓的半長軸長為 $3$。 （2） 依橢圓定義，橢圓上任意點 $P(x,y)$ 到兩焦點 $F_1(0,0)$ 與 $F_2(4,4)$ 的距離之和等於長軸長 $2a$。 由前一題已知半長軸 $a = 3 \implies 2a = 6$。 $$\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 6 \implies \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-4)^2} = 6$$ 移項整理： $$\sqrt{(x-4)^2 + (y-4)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + y^2}$$ 兩邊平方： $$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 36 - 12\sqrt{x^2 + y^2} + x^2 + y^2$$ $$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 = 36 - 12\sqrt{x^2 + y^2} + x^2 + y^2$$ $$-8x - 8y - 4 = -12\sqrt{x^2 + y^2}$$ 同除以 $-4$ 簡化方程式： $$2x + 2y + 1 = 3\sqrt{x^2 + y^2}$$ 兩邊再次平方展開： $$(2x + 2y + 1)^2 = 9(x^2 + y^2)$$ $$4x^2 + 4y^2 + 1 + 8xy + 4x + 4y = 9x^2 + 9y^2$$ $$5x^2 - 8xy + 5y^2 - 4x - 4y = 1$$ 對照題目所給之一般式： $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey = 1$$ 對比各項係數，得到： $$A = 5,\text{ } B = -8,\text{ } C = 5,\text{ } D = -4,\text{ } E = -4$$