（1） 每次抽取有 $3$ 種可能得分，分別為 $10$ 分、$20$ 分、$30$ 分。 重複抽樣且放回，因此抽三次的總樣本空間大小為： $$N = 3^3 = 27\text{ 種等機率結果}$$ 設三次抽取的得分分別為 $x, y, z \in \{10, 20, 30\}$，且滿足： $$x + y + z = 60 \implies \dfrac{x}{10} + \dfrac{y}{10} + \dfrac{z}{10} = 6$$ 令新變數 $x', y', z' \in \{1, 2, 3\}$，使得 $x' + y' + z' = 6$。 滿足條件的整數集合 $\{x', y', z'\}$ 分類如下： 1. $\{2, 2, 2\}$：排列數只有 $1$ 種（即 $(20, 20, 20)$）。 2. $\{1, 2, 3\}$：排列數為 $3! = 6$ 種（包括 $(10, 20, 30)$、$(10, 30, 20)$ 等排列）。 因此，滿足總分為 $60$ 分的結果共有 $1 + 6 = 7$ 種。 所求機率為： $$P = \dfrac{7}{27}$$ 在此處特別注意，精確機率確實為 $\dfrac{7}{27}$。 （2） 本題可採用條件機率遞迴（樹狀圖）或動態規劃求解。 設 $f(s)$ 表示目前累計得分為 $s$ 分時，最終贏得此遊戲的機率。 依遊戲規則，當累積得分大於或等於 $30$ 分時： - 若得分恰為 $30$ 分，遊戲輸，即 $f(30) = 0$。 - 若得分超過 $30$ 分，遊戲贏，即 $f(s) = 1$（對於所有 $s > 30$）。 當累積得分 $s < 30$ 時，下一次抽球有 $\{10, 20, 30\}$ 三種等機率結果（機率均為 $\dfrac{1}{3}$），可得遞迴方程： $$f(s) = \dfrac{1}{3}f(s+10) + \dfrac{1}{3}f(s+20) + \dfrac{1}{3}f(s+30)$$ 我們需要計算遊戲開始（得分為 $0$）時贏得遊戲的機率 $f(0)$。由後往前逐步推導： 1. 當 $s = 20$ 時： $$f(20) = \dfrac{1}{3}f(30) + \dfrac{1}{3}f(40) + \dfrac{1}{3}f(50) = \dfrac{1}{3} \times 0 + \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{2}{3}$$ 2. 當 $s = 10$ 時： $$f(10) = \dfrac{1}{3}f(20) + \dfrac{1}{3}f(30) + \dfrac{1}{3}f(40) = \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{1}{3} \times 0 + \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{9} = \dfrac{5}{9}$$ 3. 當 $s = 0$ 時： $$f(0) = \dfrac{1}{3}f(10) + \dfrac{1}{3}f(20) + \dfrac{1}{3}f(30) = \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{5}{9}\right) + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{1}{3} \times 0 = \dfrac{5}{27} + \dfrac{6}{27} = \dfrac{11}{27}$$ 因此，贏得此遊戲的機率為 $\dfrac{11}{27}$。答案為 $\dfrac{11}{27}$。