105學測數學多選第13題詳解

依抽籤順序逐一算出各人抽到每把鑰匙的機率。 1. $A$ 最先抽且四把鑰匙機會均等，所以 $A$ 抽到每把鑰匙的機率都是 $\frac{1}{4}$。 2. 接著算 $B$。因為 $B$ 絕不取甲的鑰匙，所以 $B$ 抽到甲的機率為 $0$；其餘要看 $A$ 抽走了什麼，分兩種情形： 情形一：$A$ 抽到甲（機率 $\frac{1}{4}$），此時剩下乙、丙、丁三把，$B$ 均等抽取，各為 $\frac{1}{3}$。 情形二：$A$ 抽到乙、丙、丁其中一把（機率各 $\frac{1}{4}$），此時剩下的三把含甲，$B$ 只能從另外兩把中選，各為 $\frac{1}{2}$。 3. 以乙為例合計，所以 $$P(B\text{ 抽到乙})=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}.$$ 由乙、丙、丁的地位對稱，$B$ 抽到丙、丁的機率也都是 $\frac{1}{3}$。 4. 再算 $C$ 與 $D$。因為 $A$、$B$ 抽完後剩下兩把鑰匙由 $C$、$D$ 均等分配，所以對任一把鑰匙，$C$ 與 $D$ 抽到它的機率相同，且各為「$A$、$B$ 都沒抽到它的機率」的一半。 5. 代入計算，所以 $$P(C\text{ 抽到甲})=\dfrac{1-\frac{1}{4}-0}{2}=\dfrac{3}{8},\; P(C\text{ 抽到乙})=\dfrac{1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{5}{24},$$ 且丙、丁與乙同為 $\frac{5}{24}$；$D$ 的各項機率與 $C$ 相同。 6. 為方便比較，把各機率通分為二十四分母： $A$ 抽到任一把鑰匙的機率為 $\frac{6}{24}$。 $B$ 抽到甲的機率為 $0$，抽到乙、丙、丁的機率各為 $\frac{8}{24}$。 $C$ 與 $D$ 抽到甲的機率各為 $\frac{9}{24}$，抽到乙、丙、丁的機率各為 $\frac{5}{24}$。 7. 逐一檢視選項： 選項 $(1)$ 比較 $\frac{6}{24}$ 與 $\frac{9}{24}$，因為前者較小，所以錯誤。 選項 $(2)$ 比較 $C$ 與 $D$ 抽到甲，兩者都是 $\frac{9}{24}$ 而非大於，所以錯誤。 選項 $(3)$ 比較 $\frac{6}{24}$ 與 $\frac{8}{24}$，因為前者較小，所以錯誤。 選項 $(4)$ 比較 $\frac{8}{24}$ 與 $\frac{5}{24}$，因為前者較大，所以正確。 選項 $(5)$ 比較 $\frac{9}{24}$ 與 $\frac{5}{24}$，因為前者較大，所以正確。 故選 $(4)(5)$。