設四位男生的鑰匙為 $K_{\text{甲}}, K_{\text{乙}}, K_{\text{丙}}, K_{\text{丁}}$。四位女生按 $A, B, C, D$ 順序抽取： 1. 女生 $A$ 抽取： - $A$ 抽到各鑰匙的機率均為 $$\dfrac{1}{4}$$。 2. 女生 $B$ 抽取（$B$ 認得且絕不取 $K_{\text{甲}}$）： - 若 $A$ 抽到 $K_{\text{甲}}$（機率 $1/4$），此時剩下 $K_{\text{乙}}, K_{\text{丙}}, K_{\text{丁}}$。$B$ 從中均等抽取，各為 $1/3$ 機率。 此時組合 $(A, B)$ 機率：$$(K_{\text{甲}}, K_{\text{乙}}), (K_{\text{甲}}, K_{\text{丙}}), (K_{\text{甲}}, K_{\text{丁}})\text{ 各為 }\dfrac{1}{12}$$。 - 若 $A$ 抽到 $K_{\text{乙}}$（機率 $1/4$），剩下 $K_{\text{甲}}, K_{\text{丙}}, K_{\text{丁}}$。因為 $B$ 不取 $K_{\text{甲}}$，所以 $B$ 只能從 $K_{\text{丙}}, K_{\text{丁}}$ 中二選一，各為 $1/2$ 機率。 此時組合 $(A, B)$ 機率：$$(K_{\text{乙}}, K_{\text{丙}}), (K_{\text{乙}}, K_{\text{丁}})\text{ 各為 }\dfrac{1}{8}$$。 - 同理，若 $A$ 抽到 $K_{\text{丙}}$，則 $$(K_{\text{丙}}, K_{\text{乙}}), (K_{\text{丙}}, K_{\text{丁}})\text{ 各為 }\dfrac{1}{8}$$。 - 同理，若 $A$ 抽到 $K_{\text{丁}}$，則 $$(K_{\text{丁}}, K_{\text{乙}}), (K_{\text{丁}}, K_{\text{丙}})\text{ 各為 }\dfrac{1}{8}$$。 3. 計算女生 $B$ 抽到各鑰匙的機率： - $$P(B \text{ 抽到 } K_{\text{甲}}) = 0$$。 - $$P(B \text{ 抽到 } K_{\text{乙}}) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$$。 - 同理，$$P(B \text{ 抽到 } K_{\text{丙}}) = \dfrac{1}{3}$$，$$P(B \text{ 抽到 } K_{\text{丁}}) = \dfrac{1}{3}$$。 4. 女生 $C$ 抽取： - 因為剩下的兩把鑰匙是由 $C$ 與 $D$ 均等分攤，所以 $C$ 抽到某把鑰匙的機率為：$$(1 - P(A \text{ 抽到該鑰匙}) - P(B \text{ 抽到該鑰匙})) / 2$$。 - $$P(C \text{ 抽到 } K_{\text{甲}}) = \dfrac{1 - 1/4 - 0}{2} = \dfrac{3/4}{2} = \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}$$。 - $$P(C \text{ 抽到 } K_{\text{乙}}) = \dfrac{1 - 1/4 - 1/3}{2} = \dfrac{5/12}{2} = \dfrac{5}{24}$$。 - $$P(C \text{ 抽到 } K_{\text{丙}}) = P(C \text{ 抽到 } K_{\text{丁}}) = \dfrac{5}{24}$$。 5. 同理，女生 $D$ 抽到各鑰匙的機率與 $C$ 相同： - $$P(D \text{ 抽到 } K_{\text{甲}}) = \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}$$。 - $$P(D \text{ 抽到 } K_{\text{乙}}) = P(D \text{ 抽到 } K_{\text{丙}}) = P(D \text{ 抽到 } K_{\text{丁}}) = \dfrac{5}{24}$$。 6. 分析各選項： - 選項 $(1)$: $A$ 抽到甲鑰匙機率為 $1/4 = 6/24$；$C$ 抽到甲鑰匙機率為 $9/24$。$6/24 < 9/24$，故 $(1)$ 錯誤。 - 選項 $(2)$: $C$ 抽到甲鑰匙與 $D$ 抽到甲鑰匙的機率均為 $9/24$（兩者相等）。故 $(2)$ 錯誤。 - 選項 $(3)$: $A$ 抽到乙鑰匙機率為 $1/4 = 6/24$；$B$ 抽到乙鑰匙機率為 $1/3 = 8/24$。$6/24 < 8/24$，故 $(3)$ 錯誤。 - 選項 $(4)$: $B$ 抽到丙鑰匙機率為 $8/24$；$C$ 抽到丙鑰匙機率為 $5/24$。$8/24 > 5/24$，故 $(4)$ 正確。 - 選項 $(5)$: $C$ 抽到甲鑰匙機率為 $9/24$；$C$ 抽到乙鑰匙機率為 $5/24$。$9/24 > 5/24$，故 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確的選項為 $(4)(5)$。