105指考數學乙選填第9題詳解

1. 袋中有 $3$ 白球（$W$）與 $3$ 紅球（$R$），共 $6$ 球。全部取出排成一列的相異排列數（即樣本空間大小）為： $$n(S) = \frac{6!}{3!3!} = 20$$ 因為每次取球機率相同，所以這 $20$ 種排列的機率均等。 2. 所求事件為「前三顆球中有相鄰兩球同為白球」。依前三顆球中白球個數分類討論： 情況一：前三顆均為白球（$WWW$）。此時前三顆顯然含有相鄰白球，剩餘三顆必為 $RRR$。排列數 $=1\cdot 1 = 1$ 種。 情況二：前三顆為 $2$ 白 $1$ 紅。前三顆的排列有 $WWR$、$WRW$、$RWW$ 三種，其中 $WWR$ 與 $RWW$ 含有相鄰白球（$WRW$ 沒有）。對於這兩種，剩餘三顆為 $1$ 白 $2$ 紅，排列數為 $\frac{3!}{1!2!}=3$。所以此情況排列數 $=2\cdot 3 = 6$ 種。 情況三：前三顆白球數 $\le 1$。此時無法出現相鄰兩白球，排列數 $=0$。 3. 因為這些情況互斥，所以滿足條件的總排列數 $=1+6=7$。所求機率為： $$P = \frac{7}{20}$$ 故填 $\frac{7}{20}$。