袋中共有 $3$ 顆白球（記為 $W$）與 $3$ 顆紅球（記為 $R$），總共 $6$ 顆球。 全部取出排成一列的相異排列總數（即樣本空間的大小 $n(S)$）為： $$n(S) = \dfrac{6!}{3!3!} = 20 \text{ 種}$$ 且由於每次取出每顆球的機率相同，這 $20$ 種排列情況出現的機率皆相同。 我們欲求的事件 $E$ 是「前三顆球中有相鄰兩球同為白球」。這代表前三顆球的排列中必須含有字串 $WW$。 我們將前三顆球的構成依白球的個數進行分類討論： 1. **前三顆球含有 $3$ 顆白球**（$3W, 0R$）： - 前三顆只能是 $WWW$，顯然含有相鄰白球（$WW$）。 - 此時剩餘的球必然為 $3$ 顆紅球，只能排成 $RRR$。 - 此類型的排列數為： $$n(E_1) = 1 \times 1 = 1 \text{ 種}$$ 2. **前三顆球含有 $2$ 顆白球與 $1$ 顆紅球**（$2W, 1R$）： - 前三顆球的相異排列共有 $\dfrac{3!}{2!1!} = 3$ 種，分別為 $WWR$、$RWW$ 與 $WRW$。 - 其中，滿足「含有相鄰白球 $WW$」的排列為 $WWR$ 與 $RWW$ 這 $2$ 種。 - 對於這 $2$ 種情況，剩餘的後三顆球必然為 $1$ 顆白球與 $2$ 顆紅球，其排列總數為 $\dfrac{3!}{1!2!} = 3$ 種。 - 因此，此類型的排列數為： $$n(E_2) = 2 \times 3 = 6 \text{ 種}$$ 3. **前三顆球含有 $1$ 顆或 $0$ 顆白球**： - 白球數量不足，前三顆球內不可能出現相鄰的兩顆白球。此類型的排列數為 $0$。 綜合上述，滿足前三顆球中有相鄰兩白球的排列總數為： $$n(E) = n(E_1) + n(E_2) = 1 + 6 = 7 \text{ 種}$$ 因此，所求之機率為： $$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{7}{20}$$ 答案為 $\dfrac{7}{20}$。