設該社區一千位居民的個人月所得為隨機變數 $Y$。 根據題目給定的分組佔比，我們首先計算各區間的累計百分比： - 月所得少於 $10,000$ 元：占 $30\%$（累計 $30\%$） - 介於 $10,000$ 元及 $20,000$ 元：占 $10\%$（累計 $40\%$） - 介於 $20,000$ 元及 $40,000$ 元：占 $30\%$（累計 $70\%$） - 介於 $40,000$ 元及 $80,000$ 元：占 $30\%$（累計 $100\%$） 我們逐一分析各個選項： 1. **選項 $(1)$**：該社區個人月所得的中位數介於 $20,000$ 元及 $40,000$ 元間。 - 中位數對應累計百分比達到 $50\%$ 的位置。 - 由於月所得少於 $20,000$ 元的居民累計佔了 $40\%$，而少於 $40,000$ 元的居民累計佔了 $70\%$，累計 $50\%$ 顯然落在 $20,000$ 至 $40,000$ 元之間。 - 因此，中位數必定介於 $20,000$ 元及 $40,000$ 元之間。本選項正確。 2. **選項 $(2)$**：簡單隨機抽樣抽出一位居民，月所得在 $10,000$ 至 $20,000$ 元的機率最低。 - 抽出的機率等於該區間居民的佔比。四個區間的佔比分別為 $30\%$、$10\%$、$30\%$、$30\%$。 - 其中以 $10,000$ 元及 $20,000$ 元之間的佔比（$10\%$）為最低，因此其機率最低。本選項正確。 3. **選項 $(3)$**：該社區的個人月所得平均，不可能高過 $40,000$ 元。 - 欲使平均所得最大化，我們可假設每位居民的月所得都達到其所在組別的最高上限（即分別為 $10,000$、$20,000$、$40,000$、$80,000$）。 - 此時的最大平均所得 $\mu_{\max}$ 為： $$\mu_{\max} < 10,000 \times 0.3 + 20,000 \times 0.1 + 40,000 \times 0.3 + 80,000 \times 0.3$$ $$\mu_{\max} < 3,000 + 2,000 + 12,000 + 24,000 = 41,000 \text{ 元}$$ - 由於上限值 $41,000 > 40,000$，平均數確實有可能高過 $40,000$ 元（例如全員均在上限邊緣時平均數為 $40,999$）。故本選項錯誤。 4. **選項 $(4)$**：該社區的個人月所得平均，不可能低過該社區的個人月所得中位數。 - 欲使平均所得最小化，我們可假設每位居民的月所得都降到其所在組別的最低下限（即分別為 $0$、$10,000$、$20,000$、$40,000$）。 - 此時的最小可能平均所得 $\mu_{\min}$ 為： $$\mu_{\min} = 0 \times 0.3 + 10,000 \times 0.1 + 20,000 \times 0.3 + 40,000 \times 0.3 = 0 + 1,000 + 6,000 + 12,000 = 19,000 \text{ 元}$$ - 只要我們將 $20,000$ 至 $40,000$ 元組別的居民所得均設為 $20,000$ 元，此時中位數可以為 $20,000$ 元，大於最小平均值 $19,000$ 元。 - 故平均所得有可能低於中位數。本選項錯誤。 5. **選項 $(5)$**：若新搬入一位居民，月所得 $200,000$ 元，則平均將增加，但增加量不會多過 $200$ 元。 - 設原社區 $1000$ 位居民的平均所得為 $\mu$ 元（顯然 $\mu \ge 19,000 \ge 0$）。 - 新增一人後，總人口變為 $1001$ 人，新平均所得 $\mu'$ 為： $$\mu' = \dfrac{1000\mu + 200,000}{1001} \text{ 元}$$ - 平均數的增加量 $\Delta$ 為： $$\Delta = \mu' - \mu = \dfrac{1000\mu + 200,000 - 1001\mu}{1001} = \dfrac{200,000 - \mu}{1001} \text{ 元}$$ - 由於原平均所得 $\mu \ge 0$，故增加量 $\Delta$ 的最大值發生在 $\mu = 0$ 時： $$\Delta \le \dfrac{200,000}{1001} \approx 199.8 \text{ 元} < 200 \text{ 元}$$ - 因此，平均所得增加量必定小於 $200$ 元。本選項正確。 綜上所述，正確的選項為 $(1)$、$(2)$ 與 $(5)$。