設原數據為 $X_i$，新數據為 $Y_i$。依題意，兩者的線性關係為： $$Y_i = 100 X_i - 240\ (i = 1, 2, \dots, 9)$$ 逐一檢查選項： - $(1)$ 正確：新數據的算術平均數為 $$\bar{Y} = \frac{3+6+1+5+4+8+6+7+5}{9} = \frac{45}{9} = 5$$ - $(2)$ 正確：新數據的標準差 $S_Y$ 為 $$S_Y = \sqrt{\frac{(3-5)^2 + (6-5)^2 + (1-5)^2 + (5-5)^2 + (4-5)^2 + (8-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (5-5)^2}{9}}$$ $$S_Y = \sqrt{\frac{4 + 1 + 16 + 0 + 1 + 9 + 1 + 4 + 0}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = 2$$ - $(3)$ 正確：根據線性變換的性質，平均數滿足 $\bar{Y} = 100\bar{X} - 240$。代入 $\bar{Y}=5$ 得： $$5 = 100\bar{X} - 240 \implies 100\bar{X} = 245 \implies \bar{X} = 2.45$$ - $(4)$ 錯誤：標準差不受平移影響，僅受伸縮影響，即 $S_Y = 100 S_X$。代入 $S_Y=2$ 得： $$2 = 100 S_X \implies S_X = 0.02$$ - $(5)$ 正確：將原數據由小到大排列：$2.41, 2.43, 2.44, 2.45, 2.45, 2.46, 2.46, 2.47, 2.48$。共 $9$ 筆，中位數為第 $5$ 筆，即為 $2.45$。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。