設正立方體邊長為 $a$。我們建立空間直角坐標系或利用向量幾何性質分析： - $(1)$ 正確：線段 $\overline{EA}$ 垂直於頂面 $EFGH$，故向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{EA}$ 垂直於平面上的任意向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{EG}$，其內積為 $0$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{EA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{EG} = 0$。 - $(2)$ 正確：線段 $\overline{EF}$ 垂直於側面 $AEHD$，故向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{EF}$ 垂直於平面上的任意向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{ED}$，其內積為 $0$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{ED} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{EF} = 0$。 - $(3)$ 正確：在正方形 $EFGH$ 中，$\overset{\large\rightharpoonup}{EF} + \overset{\large\rightharpoonup}{EH} = \overset{\large\rightharpoonup}{EG}$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{EG}$ 與底面的 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 為平行且等長之向量（$\overset{\large\rightharpoonup}{EG} = \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$），故 $\overset{\large\rightharpoonup}{EF} + \overset{\large\rightharpoonup}{EH} = \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$。 - $(4)$ 錯誤：以 $A$ 為原點建立空間直角坐標系，設邊長為 $1$。各點坐標為： $$A(0,0,0), \ B(1,0,0), \ D(0,1,0), \ E(0,0,1), \ C(1,1,0), \ G(1,1,1)$$ 得向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{EC} = C - E = (1, 1, -1),\ \ \overset{\large\rightharpoonup}{AG} = G - A = (1, 1, 1)$$ 計算內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{EC} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AG} = 1(1) + 1(1) + (-1)(1) = 1 \neq 0$$ - $(5)$ 正確：依空間向量加法，$\overset{\large\rightharpoonup}{EF} + \overset{\large\rightharpoonup}{EA} + \overset{\large\rightharpoonup}{EH} = (\overset{\large\rightharpoonup}{EF} + \overset{\large\rightharpoonup}{EH}) + \overset{\large\rightharpoonup}{EA} = \overset{\large\rightharpoonup}{EG} + \overset{\large\rightharpoonup}{EA} = \overset{\large\rightharpoonup}{EC}$。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。