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95 學測數學 第 10 題
📅 95 年 📝 學測數學 第 10 題 題型:多選 課綱:99課綱
下圖是根據 $100$ 名婦女的體重所作出的直方圖(圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數,其中各區間不包含左端點而包含右端點)。該 $100$ 名婦女體重的平均數為 $55$ 公斤,標準差為 $12.5$ 公斤。曲線 $N$ 代表一常態分佈,其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本中,若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 $2$ 個標準差以上(即體重超過 $80$ 公斤以上),則下列敘述哪些正確?
題目附圖
題目附圖
  1. 曲線 $N$(常態分佈)中,在 $55$ 公斤以上所佔的比例約為 $50\%$。
  2. 曲線 $N$(常態分佈)中,在 $80$ 公斤以上所佔的比例約為 $2.5\%$。
  3. 該樣本中,體重的中位數大於 $55$ 公斤。
  4. 該樣本中,體重的第一四分位數大於 $45$ 公斤。
  5. 該樣本中,「體重過重」(體重超過 $80$ 公斤以上)的比例大於或等於 $5\%$。
直方圖解讀中位數與四分位數常態分佈性質數據分析數據分析
解題手法數形結合〔AI 推測〕
答案

$(1)(2)(4)(5)$

詳解
(1) 對:常態分佈對稱於平均數 $\mu = 55$,故大於平均數所佔比例約為 $50\%$。 (2) 對:$80$ 公斤為 $\mu + 2\sigma = 55 + 2(12.5) = 80$。常態分佈在 $\mu + 2\sigma$ 以上所佔比例約為 $\dfrac{1 - 0.95}{2} = 2.5\%$。 (3) 錯:從直方圖讀取各區間的累積比例: - $\le 45$ 公斤:$20\%$ - $\le 55$ 公斤:$20\% + 33\% = 53\%$ 因為累積至 $55$ 公斤已達 $53\%$,中位數(第 $50$ 百分位數)必定小於 $55$ 公斤。 (4) 對:累積至 $45$ 公斤為 $20\%$。第一四分位數(第 $25$ 百分位數)必定落在 $45$ 到 $55$ 公斤之間,故大於 $45$ 公斤。 (5) 對:直方圖中體重在 $80$ 公斤以上(體重過重)包含 $80$ 至 $85$ 公斤($6\%$)與 $85$ 至 $95$ 公斤($5\%$),總比例為 $6\% + 5\% = 11\% \ge 5\%$。 故選 $(1)(2)(4)(5)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。