設 $f(x) = 3x^3 + px^2 + 2x + q$。依題意： 甲生所算之多項式為 $f_\text{甲}(x) = 2x^3 + px^2 + 2x + q$， 乙生所算之多項式為 $f_\text{乙}(x) = 3x^3 + px^2 - 2x + q$。 設一次式 $g(x) = x - k$，依餘式定理，兩生算出來的餘式分別為 $f_\text{甲}(k)$ 與 $f_\text{乙}(k)$。因餘式相同，故： $$f_\text{甲}(k) = f_\text{乙}(k)$$ $$2k^3 + pk^2 + 2k + q = 3k^3 + pk^2 - 2k + q$$ 移項整理得： $$k^3 - 4k = 0 \implies k(k - 2)(k + 2) = 0$$ 解得 $k = 0, 2, -2$。 因此 $g(x)$ 的可能情況為： - 當 $k=0$ 時，$g(x) = x$（選項 $(1)$） - 當 $k=2$ 時，$g(x) = x-2$（選項 $(3)$） - 當 $k=-2$ 時，$g(x) = x+2$（選項 $(5)$） 故選 $(1)(3)(5)$。