95學測數學多選第8題詳解

設等差數列 $a_n$ 的公差為 $d$。由 $a_3 = 4$ 且 $a_3 = a_1 + 2d \implies 2d = 4 - a_1$。 因為 $0 < a_1 < 2 \implies 2 < 2d < 4 \implies 1 < d < 2$（數列遞增且公差大於 1）。 $(1)$ 對：$b_n = 2^{a_n}$，則 $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = 2^{a_{n+1} - a_n} = 2^d$（常數），故為等比數列。 $(2)$ 對：因 $d > 0$，數列遞增，故 $a_1 < a_2 \implies b_1 < b_2$。 $(3)$ 對：$a_2 = a_3 - d = 4 - d$。因為 $1 < d < 2 \implies 2 < a_2 < 3$，故 $b_2 = 2^{a_2} > 2^2 = 4$。 $(4)$ 對：$a_4 = a_3 + d = 4 + d$。因為 $1 < d < 2 \implies 5 < a_4 < 6$，故 $b_4 = 2^{a_4} > 2^5 = 32$。 $(5)$ 對：$b_2 \times b_4 = 2^{a_2} \times 2^{a_4} = 2^{a_2 + a_4} = 2^{2a_3}$（等差中項性質，$a_2+a_4 = 2a_3$）。因為 $a_3 = 4$，故 $b_2 \times b_4 = 2^8 = 256$。 故選 $(1)(2)(3)(4)(5)$。