- $(1)$ 因為等比數列 $\langle a_n \rangle$ 的公比 $r = -0.8 < 0$，其奇數項與偶數項正負號相反，故 $a_9$ 與 $a_{10}$ 必異號，即： $$a_9 \times a_{10} < 0$$ % 雙反斜線換行 故選項 $(1)$ 正確。 - $(3)$ 由於 $a_9$ 與 $a_{10}$ 必異號，分兩種情況討論： - 若 $a_9 > 0$ 且 $a_{10} < 0$：\\ 因為 $a_{10} > b_{10}$，所以 $b_{10} < a_{10} < 0$。\\ 已知首項 $b_1 = 10 > 0$，而第 $10$ 項 $b_{10} < 0$，這說明此等差數列的公差 $d < 0$。\\ 因此，$$b_9 = b_{10} - d > b_{10}$$ - 若 $a_9 < 0$ 且 $a_{10} > 0$：\\ 因為 $a_9 > b_9$，所以 $b_9 < a_9 < 0$。\\ 已知首項 $b_1 = 10 > 0$，而第 $9$ 項 $b_9 < 0$，這說明此等差數列的公差 $d < 0$。\\ 因此，同樣有 $b_9 > b_{10}$。\\ 綜合上述，無論哪種情況都有公差 $d < 0$，故 $b_9 > b_{10}$ 必定成立。故選項 $(3)$ 正確。 - $(2)$ 由上述討論可知，若 $a_9 > 0$ 且 $a_{10} < 0$ 時 $b_{10} < 0$，故選項 $(2)$ 錯誤。 - $(4)$ 若 $a_9 < 0$ 且 $a_{10} > 0$，則 $a_9 < a_{10}$，故選項 $(4)$ 錯誤。 - $(5)$ 我們可以尋找一個反例：\\ 設等差數列的公差 $d = -2$，則： $$b_8 = 10 + 7(-2) = -4, \ \ b_9 = -6, \ \ b_{10} = -8$$ 設等比數列第 $8$ 項 $a_8 = -5$。因為公比為 $-0.8$，則： $$a_9 = a_8 \times (-0.8) = 4$$ $$a_{10} = a_9 \times (-0.8) = -3.2$$ 此時滿足 $a_9 = 4 > b_9 = -6$ 且 $a_{10} = -3.2 > b_{10} = -8$。\\ 然而 $a_8 = -5 < b_8 = -4$。故選項 $(5)$ 不一定成立。\\ 故選 $(1)(3)$。