102學測數學多選第12題詳解

$(1)$ 因為等比數列 $\langle a_n \rangle$ 的公比 $r = -0.8 < 0$，所以奇數項與偶數項正負號相反， 因此 $a_9$ 與 $a_{10}$ 必異號，即 $a_9 \times a_{10} < 0$。正確。 $(3)$ 因為 $a_9$ 與 $a_{10}$ 必異號，所以分兩種情況討論： - 若 $a_9 > 0$ 且 $a_{10} < 0$： 因為 $a_{10} > b_{10}$，所以 $b_{10} < a_{10} < 0$。 已知首項 $b_1 = 10 > 0$，而第 $10$ 項 $b_{10} < 0$，說明公差 $d < 0$。 因此 $b_9 = b_{10} - d > b_{10}$。 - 若 $a_9 < 0$ 且 $a_{10} > 0$： 因為 $a_9 > b_9$，所以 $b_9 < a_9 < 0$。 已知首項 $b_1 = 10 > 0$，而第 $9$ 項 $b_9 < 0$，說明公差 $d < 0$。 因此同樣有 $b_9 > b_{10}$。 綜合上述，無論哪種情況都有 $b_9 > b_{10}$。正確。 $(2)$ 由上述討論，若 $a_9 > 0$ 且 $a_{10} < 0$ 時 $b_{10} < 0$，與 $b_{10} > 0$ 矛盾。錯誤。 $(4)$ 若 $a_9 < 0$ 且 $a_{10} > 0$，則 $a_9 < a_{10}$，與 $a_9 > a_{10}$ 矛盾。錯誤。 $(5)$ 舉反例：設等差數列公差 $d = -2$，則 $b_8 = 10 + 7(-2) = -4$，$b_9 = -6$，$b_{10} = -8$。 設等比數列第 $8$ 項 $a_8 = -5$。因為公比為 $-0.8$，所以 $a_9 = a_8 \times (-0.8) = 4$，$a_{10} = a_9 \times (-0.8) = -3.2$。 此時 $a_9 = 4 > b_9 = -6$ 且 $a_{10} = -3.2 > b_{10} = -8$，但 $a_8 = -5 < b_8 = -4$。錯誤。 故選 $(1)(3)$。