100 學測數學第 3 題

Question

設 $(a_{n+1})^2 = \dfrac{1}{\sqrt{10}}(a_n)^2$，$n$ 為正整數，且知 $a_n$ 皆為正。令 $b_n = \log a_n$，則數列 $b_1, b_2, b_3, \cdots$ 為

Accepted Answer

答案：$(2)$
由 $(a_{n+1})^2 = \dfrac{1}{\sqrt{10}}(a_n)^2$ 且 $a_n>0$，得 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{10^{1/4}}$。
則
$$b_{n+1} - b_n = \log a_{n+1} - \log a_n = \log\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \log 10^{-1/4} = -\dfrac{1}{4}$$
為定值且為負，故 $b_n$ 為公差為負的等差數列。故選 $(2)$。