109指考數學甲補考多選第8題詳解

由題意，$2^a, 2^b, 2^c$ 成等差數列，所以 $2 \cdot 2^b = 2^a + 2^c$，即 $2^a + 2^c = 2^{b+1}$。 選項 $(1)$：錯誤。 因為 $a,b,c$ 成等比數列並非 $2^a,2^b,2^c$ 成等差的必要或充分條件，且無法從已知條件推出 $a,b,c$ 成等比。 選項 $(2)$：正確。 因為 $2^{a+100} + 2^{c+100} = 2^{100}(2^a + 2^c) = 2^{100} \cdot 2^{b+1} = 2 \cdot 2^{b+100}$，所以 $2^{a+100}, 2^{b+100}, 2^{c+100}$ 亦成等差數列。 選項 $(3)$：錯誤。 因為可舉反例：取 $2^a = 4, 2^b = 2, 2^c = 1$（滿足 $4,2,1$ 成等差且 $a > b > c$），則 $4^a = 16, 4^b = 4, 4^c = 1$，而 $16 + 1 = 17 \neq 2 \times 4$，不成等差數列。 選項 $(4)$：正確。 因為 $2^a$ 為正數，所以 $2^a < 2^a + 2^c = 2^{b+1}$。又因為指數函數 $2^x$ 在實數上嚴格遞增，所以 $a < b+1$。 選項 $(5)$：正確。 由算幾不等式，因為 $2^a > 0$ 且 $2^c > 0$，所以 $\frac{2^a + 2^c}{2} \ge \sqrt{2^a \cdot 2^c} = 2^{\frac{a+c}{2}}$。又因為 $2^b = \frac{2^a + 2^c}{2}$，所以 $2^b \ge 2^{\frac{a+c}{2}}$。因為指數函數 $2^x$ 為遞增函數，所以 $b \ge \frac{a+c}{2}$。 故選 $(2)(4)(5)$。