(1) 正確。這是勘根定理（中間值定理）。 (2) 錯誤。可能有偶數個根，例如 $f(x) = (x-1.2)(x-1.8)$，則 $f(1) > 0, f(2) > 0$，但在 $(1,2)$ 間有根。 (3) 正確。若 $f(1)f(2)f(3) < 0$，則 $f(1), f(2), f(3)$ 中必有一個或三個負值。若其中一個為負（如 $f(1) < 0, f(2) > 0, f(3) > 0$），則在 $(1,2)$ 有根；若三個皆為負，則無保證。等等，若 $f(1), f(2), f(3)$ 為 $(-,-,-)$，則 $f(1)f(2) > 0$ 且 $f(2)f(3) > 0$。但如果 $f(x) = -1$ 呢？它是非常數嗎？題目說「非常數」。若 $f(x) = -(x-2)^2 - 1$，則 $f(1), f(2), f(3)$ 皆負，無根。等等，題目說「非常數的實係數多項式」。若 $f(x) = -1 - (x-2)^2$，則 $f(1)=-2, f(2)=-1, f(3)=-2$。乘積為 $-4 < 0$。但在 $(1,3)$ 無根。所以 (3) 錯誤？ Wait, let me re-think (3). $f(1)f(2)f(3) < 0$ means either one is negative or all three are negative. If $f(1) < 0, f(2) > 0, f(3) > 0$, there is a root in $(1,2)$. If $f(1) > 0, f(2) < 0, f(3) > 0$, there are roots in $(1,2)$ and $(2,3)$. If $f(1) > 0, f(2) > 0, f(3) < 0$, root in $(2,3)$. If $f(1), f(2), f(3)$ are all negative, there might be no root. For example $f(x) = -x^2 + 4x - 5$, $f(1)=-2, f(2)=-1, f(3)=-2$. $f(1)f(2)f(3) = -4 < 0$. No real root. So (3) is incorrect. (4) 正確。令 $F(c) = \int_0^c f(x) dx$。則 $F(c)$ 為連續函數。由題意 $F(1)F(2) < 0$，根據中間值定理，存在 $c \in (1,2)$ 使得 $F(c) = 0$。 (5) 錯誤。例如 $f(x) = \cos(2\pi x)$ 在 $[1,2]$ 上的積分為 $0$，但 $f(1)=1, f(2)=1$，乘積為 $1 > 0$。 故選 $(1)(4)$。