考慮多項式函數 $f(x) = x^5 + 2x^4 - x^3 - 5x^2 + 3$，其導數為： $$f'(x) = 5x^4 + 8x^3 - 3x^2 - 10x = x(5x^3 + 8x^2 - 3x - 10)$$ 分別檢驗各選項： $(1)$ 當 $k \to \infty$ 時，最高次項起主導作用，因此： $$\lim\limits_{k \to \infty} \dfrac{f(k)}{f(k+100)} = \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac{k^5}{(k+100)^5} = 1 \ne 0$$ 此選項錯誤。 $(2)$ 根據導數的定義，該極限即為 $f'(1)$： $$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) = 5(1)^4 + 8(1)^3 - 3(1)^2 - 10(1) = 0$$ 此選項正確。 $(3)$ 令 $g(x) = 5x^3 + 8x^2 - 3x - 10$，則 $f'(x) = x g(x)$。 在區間 $\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 上，我們計算 $g(x)$ 的導數： $$g'(x) = 15x^2 + 16x - 3$$ 當 $x \ge \dfrac{1}{2}$ 時，$g'(x) \ge 15\left(\dfrac{1}{4}\right) + 8 - 3 > 0$，因此 $g(x)$ 在此區間單調遞增。 又 $g(1) = 5(1)^3 + 8(1)^2 - 3(1) - 10 = 0$， 故當 $x \in \left[\dfrac{1}{2}, 1\right)$ 時，$g(x) < g(1) = 0$，進而 $f'(x) = x g(x) < 0$。 這表示 $f(x)$ 在此區間為單調遞減，此選項錯誤。 $(4)$ 當 $x \ge 0$ 時，由 $(3)$ 的分析知： - 當 $0 < x < 1$ 時，$f'(x) < 0$，函數遞減； - 當 $x > 1$ 時，$f'(x) > 0$，函數遞增。 因此，$f(x)$ 在 $x = 1$ 時取得在 $[0, \infty)$ 上的極小值，也是最小值： $$f(1) = 1 + 2 - 1 - 5 + 3 = 0$$ 故當 $x \ge 0$時，$f(x) \ge f(1) = 0$ 恆成立，此選項正確。 $(5)$ 求 $y = f(x)$ 與直線 $y = 3$ 的交點數，等價於求方程式 $f(x) - 3 = 0$ 的實根個數： $$x^5 + 2x^4 - x^3 - 5x^2 = 0 \implies x^2(x^3 + 2x^2 - x - 5) = 0$$ 其中 $x = 0$ 為二重根（交點為 $(0,3)$）。 令 $h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 5$。其導數 $h'(x) = 3x^2 + 4x - 1 = 0$ 的兩根為： $$\alpha = \dfrac{-4 - \sqrt{28}}{6} \approx -1.55, \ \beta = \dfrac{-4 + \sqrt{28}}{6} \approx 0.22$$ 計算極值 $h(\alpha) \approx -2.37 < 0$ 且 $h(\beta) \approx -5.11 < 0$。 由於極大值與極小值皆小於 $0$，且 $h(x)$ 當 $x \to \infty$ 時趨向 $\infty$，故 $h(x) = 0$ 僅有一個大於 $1$ 的實根。 因此，原方程共有兩個相異實數根，即交點恰有兩個，此選項正確。 綜合上述，正確選項為 $(2)(4)(5)$。