96指考數學甲多選第8題詳解

令 $f(x)=x^3+2x+3$。因為 $$ f'(x)=3x^2+2>0 $$ 對所有實數都成立，所以 $f$ 嚴格遞增，且值域為全體實數。 $(1)$ 嚴格遞增且向兩端無界，因此沒有最高點或最低點，錯誤。 $(2)$ 水平切線需要 $f'(x)=0$，但上式永遠為正，錯誤。 $(3)$ 因為 $f$ 連續、嚴格遞增且值域為實數，所以每條水平線恰與圖形交於一點，正確。 $(4)$ 計算 $$ f(-a)=-a^3-2a+3=-f(a)+6. $$ 所以若 $(a,b)$ 在圖形上，則 $(-a,-b+6)$ 也在圖形上，正確。 $(5)$ 在 $0\le x\le1$ 時 $f(x)>0$，由圖形與三線圍成的面積為 $$ \int_0^1(x^3+2x+3)\,dx=\frac14+1+3=\frac{17}{4}>4, $$ 所以正確。 故選 $(3)(4)(5)$。 另解 我們分析函數 $f(x) = x^3 + 2x + 3$ 的性質： 對其求導數： $f'(x) = 3x^2 + 2$。 因為對於所有實數 $x$， $x^2 \ge 0$，故 $f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2 > 0$。 這說明函數 $f(x)$ 在整個實數定義域上為嚴格遞增的連續函數。 $(1)$ 錯誤。因為 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上嚴格遞增，當 $x \to \infty$ 時， $f(x) \to \infty$；當 $x \to -\infty$ 時， $f(x) \to -\infty$。因此圖形沒有最高點也沒有最低點。 $(2)$ 錯誤。水平切線的條件為導數 $f'(x) = 0$。因為 $f'(x) \ge 2 > 0$，導數永遠不為零，所以圖形沒有水平切線。 $(3)$ 正確。因為 $f(x)$ 在實數上為嚴格遞增的連續函數，且值域為 $(-\infty, \infty)$，由中間值定理與單調性，對於任何水平線 $y = k$，皆與 $y = f(x)$ 的圖形恰交於一點。 $(4)$ 正確。我們探討圖形的對稱中心。 設 $g(x) = f(x) - 3 = x^3 + 2x$。 因為 $g(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -g(x)$，所以 $g(x)$ 是奇函數，其圖形關於原點 $(0, 0)$ 對稱。 這意味著 $f(x) = g(x) + 3$ 的圖形關於點 $(0, 3)$ 對稱。 若 $(a, b)$ 在圖形上，則有 $f(a) = b$。我們驗證 $(-a, -b+6)$ 是否也在圖形上： $$f(-a) = (-a)^3 + 2(-a) + 3 = -a^3 - 2a + 3$$ 而： $$-b + 6 = -f(a) + 6 = -(a^3 + 2a + 3) + 6 = -a^3 - 2a + 3$$ 兩式相等，因此 $(-a, -b+6)$ 確實在圖形上。 $(5)$ 正確。我們計算函數在區間 $[0, 1]$ 下方與 $x$ 軸圍成的面積。 因為當 $0 \le x \le 1$ 時， $f(x) = x^3 + 2x + 3 > 0$，所以面積為定積分值： $$\text{面積} = \int_{0}^{1} (x^3 + 2x + 3) \, dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 + x^2 + 3x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{4} + 1 + 3\right) - 0 = 4.25$$ 因為 $4.25 > 4$，所以所圍成的面積大於 $4$。 故正確選項為 $(3)(4)(5)$。