96指考數學甲選填第9題詳解

設每個工廠生產的產品總數皆為 $N$。第 $k$ 個工廠的不良率為 $P(D \mid F_k) = \frac{k}{50}$。 因為我們任意抽出一個產品，所以抽到不良品（記為事件 $D$）的總機率，由全機率公式可得： $$P(D) = \sum_{k=1}^{6} P(F_k) P(D \mid F_k)$$ 因為各工廠的產量都一樣，所以每個工廠產品被選中的機率皆為 $P(F_k) = \frac{1}{6}$。 $$P(D) = \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{6} \times \frac{k}{50} = \frac{1}{300} \sum_{k=1}^{6} k$$ $$P(D) = \frac{1}{300} (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{300}$$ 此時，若已知抽出的產品為不良品，則它來自第五個工廠（事件 $F_5$）的條件機率，由貝氏定理可得： $$P(F_5 \mid D) = \frac{P(F_5 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(F_5) P(D \mid F_5)}{P(D)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{5}{50}}{\frac{21}{300}} = \frac{\frac{5}{300}}{\frac{21}{300}} = \frac{5}{21}$$ 故所求機率為 $\frac{5}{21}$。