設說謊者（即竊賊）的事件為 $T$，誠實者的事件為 $H$。測謊器判定說謊的事件為 $W$，判定誠實的事件為 $S$。 已知條件為： $$P(W|T) = 0.99 \implies P(S|T) = 0.01$$ $$P(S|H) = 0.90 \implies P(W|H) = 0.10$$ 設竊賊僅有 $1$ 人，則隨機抽取一人時，其為竊賊的先驗機率為 $P(T) = \dfrac{1}{50} = 0.02$，其為誠實者的先驗機率為 $P(H) = \dfrac{49}{50} = 0.98$。 - (1) 對：當隨機受測時，測謊器顯示說謊的機率為： $$P(W) = P(W|T)P(T) + P(W|H)P(H) = 0.99 \times 0.02 + 0.10 \times 0.98 = 0.0198 + 0.098 = 0.1178 = 11.78\,\% > 10\,\%$$ - (2) 錯：當測謊器顯示該賓客說謊時，該賓客為竊賊的機率為： $$P(T|W) = \dfrac{P(W|T)P(T)}{P(W)} = \dfrac{0.0198}{0.1178} \approx 16.8\,\% < 50\,\%$$ - (3) 對：當測謊器顯示誠實時，該賓客卻是竊賊的機率為： $$P(S) = P(S|T)P(T) + P(S|H)P(H) = 0.01 \times 0.02 + 0.90 \times 0.98 = 0.0002 + 0.882 = 0.8822$$ $$P(T|S) = \dfrac{P(S|T)P(T)}{P(S)} = \dfrac{0.0002}{0.8822} \approx 0.02\,\% < 20\,\%$$ - (4) 錯：依貝氏定理可知，$P(T|W)$ 顯然與竊賊比例（先驗機率 $P(T)$）有關。當竊賊人數增加時，其先驗機率提高，則測謊顯示說謊時該人為賊的信賴度亦會隨之提高。 故選 $(1)(3)$。