94指考數學甲多選第7題詳解

設說謊者（即竊賊）的事件為 $T$，誠實者的事件為 $H$。測謊器判定說謊的事件為 $W$，判定誠實的事件為 $S$。 因為要比較各事件的條件機率，所以先列出已知條件： $$P(W\mid T) = 0.99 \implies P(S\mid T) = 0.01$$ $$P(S\mid H) = 0.90 \implies P(W\mid H) = 0.10$$ 設竊賊僅有 $1$ 人，則隨機抽取一人時，其為竊賊的先驗機率為 $P(T) = \frac{1}{50} = 0.02$，其為誠實者的先驗機率為 $P(H) = \frac{49}{50} = 0.98$。 $(1)$ 對：當隨機受測時，測謊器顯示說謊的機率為： $$P(W) = P(W\mid T)P(T) + P(W\mid H)P(H) = 0.99 \times 0.02 + 0.10 \times 0.98 = 0.0198 + 0.098 = 0.1178 = 11.78\,\% > 10\,\%$$ $(2)$ 錯：當測謊器顯示該賓客說謊時，該賓客為竊賊的機率為： $$P(T\mid W) = \frac{P(W\mid T)P(T)}{P(W)} = \frac{0.0198}{0.1178} \approx 16.8\,\% < 50\,\%$$ $(3)$ 對：當測謊器顯示誠實時，該賓客卻是竊賊的機率為： $$P(S) = P(S\mid T)P(T) + P(S\mid H)P(H) = 0.01 \times 0.02 + 0.90 \times 0.98 = 0.0002 + 0.882 = 0.8822$$ $$P(T\mid S) = \frac{P(S\mid T)P(T)}{P(S)} = \frac{0.0002}{0.8822} \approx 0.02\,\% < 20\,\%$$ $(4)$ 錯：依貝氏定理可知，$P(T\mid W)$ 顯然與竊賊比例（先驗機率 $P(T)$）有關。當竊賊人數增加時，其先驗機率提高，則測謊顯示說謊時該人為賊的信賴度亦會隨之提高。 故選 $(1)(3)$。