設 $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$。已知： $$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 且 } A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 這兩式可合併寫成矩陣相乘的形式： $$A \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ 右乘其逆矩陣： $$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \left( \dfrac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right) = \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ - (4) 對：$A$ 是一旋轉角為 $90^\circ$ 的逆時針旋轉方陣。 - (3) 對：計算 $A^2$ 可得： $$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ 故 $A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。 - (1) 錯，(2) 對：計算 $A^3$： $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$ 若 $A^3 \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 34 \end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ -a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 34 \end{bmatrix}$。 比較係數得 $b = 2$ 且 $-a = 34 \implies a = -34$。 故選 $(2)(3)(4)$。