94指考數學甲多選第8題詳解

設 $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$。已知： $$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 且 } A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 這兩式可合併寫成矩陣相乘的形式： $$A \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ 右乘其逆矩陣： $$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ 因此 $A$ 是逆時針旋轉 $90^\circ$ 的旋轉方陣，選項 $(4)$ 正確。 計算 $A^2$： $$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ 故 $$A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 選項 $(3)$ 正確。 又 $A^4 = I$。題目給定 $$A^4 \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$$ 因此 $$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$$ 得 $a = 3$、$b = 2$，所以選項 $(1)$ 錯誤，選項 $(2)$ 正確。 故選 $(2)(3)(4)$。