我們從矩陣的幾何意義與代數性質進行分析： - 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 代表平面坐標上關於 $x$ 軸的鏡射矩陣。其滿足 $A^2 = I$。 - 矩陣 $B = \begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}$ 代表繞原點逆時針旋轉 $60^\circ$ 的旋轉矩陣。 因為旋轉六次即為旋轉 $360^\circ$，故 $B^6 = I$，進而有 $B^{12} = I, B^{18} = I$，且 $B^{15} = B^3$。 - 鏡射與旋轉矩陣滿足以下變換規律： $ABA = A^{-1} B A = B^{-1}$（即關於 $x$ 軸鏡射後旋轉再鏡射回來，相當於反向旋轉相同角度）。 我們逐一驗證各選項： (1) **錯誤**。因為旋轉與鏡射不滿足乘法交換律。經直接計算： $$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$$ $$BA = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$$ 故 $AB \ne BA$。 (2) **正確**。因為 $A^2 = I$，所以 $A^2B = I B = B$，而 $BA^2 = B I = B$。故 $A^2B = BA^2$。 (3) **錯誤**。利用 $A^2 = I$ 且 $B^6 = I$ 可以簡化兩端： - 左式 = $A^{11} B^3 = (A^2)^5 A B^3 = A B^3$。因為 $B^3$ 代表旋轉 $180^\circ$，即 $B^3 = -I$，所以左式 = $-A$。 - 右式 = $B^6 A^5 = I (A^2)^2 A = A$。 因為 $A \ne -A$，故左式 $\ne$ 右式。 (4) **正確**。利用 $B^{12} = I$ 與 $A^2 = I$ 簡化兩端： - 左式 = $AB^{12} = AI = A$。 - 右式 = $A^7 = (A^2)^3 A = A$。 故左式 = 右式。 (5) **正確**。因為 $ABA = B^{-1}$，故： - 左式 = $(ABA)^{15} = (B^{-1})^{15} = B^{-15} = B^{-3}$。因為 $B^6 = I \implies B^{-3} = B^3$，所以左式 = $B^3$。 - 右式 = $AB^{15}A = A(B^6)^2 B^3 A = AB^3A$。 利用 $AB^nA = (ABA)^n = (B^{-1})^n = B^{-n}$： 右式 = $AB^3A = B^{-3} = B^3$。 故左式 = 右式。 故正確選項為 $(2)(4)(5)$。