96指考數學甲多選第7題詳解

矩陣 $A$ 是關於 $x$ 軸的鏡射，因此 $A^2=I$；矩陣 $B$ 是旋轉 $60^\circ$，所以 $B^6=I$。另外，鏡射前後會把旋轉方向反過來，故 $$ ABA=B^{-1}. $$ $(1)$ 直接看非對角元素即可知 $\overline{AB}\ne \overline{BA}$，錯誤。 $(2)$ 因為 $A^2=I$，所以 $A^2B=B=\overline{BA}^2$，正確。 $(3)$ 因為 $A^{11}=A$、$B^3=-I$，左式為 $-A$；右式為 $B^6A^5=A$，兩者不同，錯誤。 $(4)$ 因為 $B^{12}=I$、$A^7=A$，兩邊都等於 $A$，正確。 $(5)$ 由 $ABA=B^{-1}$，左式為 $B^{-15}=B^3$；右式為 $\overline{AB}^{15}A=B^{-15}=B^3$，所以正確。 故選 $(2)(4)(5)$。 另解 我們從矩陣的幾何意義與代數性質進行分析： - 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 代表平面坐標上關於 $x$ 軸的鏡射矩陣。其滿足 $A^2 = I$。 - 矩陣 $B = \begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}$ 代表繞原點逆時針旋轉 $60^\circ$ 的旋轉矩陣。 因為旋轉六次即為旋轉 $360^\circ$，故 $B^6 = I$，進而有 $B^{12} = I, B^{18} = I$，且 $B^{15} = B^3$。 - 鏡射與旋轉矩陣滿足以下變換規律： $ABA = A^{-1} B A = B^{-1}$（即關於 $x$ 軸鏡射後旋轉再鏡射回來，相當於反向旋轉相同角度）。 我們逐一驗證各選項： $(1)$ 錯誤。因為旋轉與鏡射不滿足乘法交換律。經直接計算： $$\overline{AB} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ $$\overline{BA} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ 故 $\overline{AB} \ne \overline{BA}$。 $(2)$ 正確。因為 $A^2 = I$，所以 $A^2B = I B = B$，而 $\overline{BA}^2 = B I = B$。故 $A^2B = \overline{BA}^2$。 $(3)$ 錯誤。利用 $A^2 = I$ 且 $B^6 = I$ 可以簡化兩端： - 左式 = $A^{11} B^3 = (A^2)^5 A B^3 = A B^3$。因為 $B^3$ 代表旋轉 $180^\circ$，即 $B^3 = -I$，所以左式 = $-A$。 - 右式 = $B^6 A^5 = I (A^2)^2 A = A$。 因為 $A \ne -A$，故左式 $\ne$ 右式。 $(4)$ 正確。利用 $B^{12} = I$ 與 $A^2 = I$ 簡化兩端： - 左式 = $\overline{AB}^{12} = \overline{AI} = A$。 - 右式 = $A^7 = (A^2)^3 A = A$。 故左式 = 右式。 $(5)$ 正確。因為 $ABA = B^{-1}$，故： - 左式 = $(ABA)^{15} = (B^{-1})^{15} = B^{-15} = B^{-3}$。因為 $B^6 = I \implies B^{-3} = B^3$，所以左式 = $B^3$。 - 右式 = $\overline{AB}^{15}A = A(B^6)^2 B^3 A = \overline{AB}^3A$。 利用 $\overline{AB}^nA = (ABA)^n = (B^{-1})^n = B^{-n}$： 右式 = $\overline{AB}^3A = B^{-3} = B^3$。 故左式 = 右式。 故正確選項為 $(2)(4)(5)$。