92 指考數學甲第 3 題

Question

$A$ 和 $B$ 是兩個二階方陣，方陣中每一位置的元素都是實數。就二階方陣所對應的平面變換來說，$A$ 在平面上的作用是對直線 $L:y+\sqrt{3}\,x=0$ 的鏡射，且知 $AB=\begin{pmatrix}-1 & 0\ 0 & -1\end{pmatrix}$。請選出正確的選項。（說明：$A$ 將 $P$ 點對應到 $Q$ 點，則 $L$ 為線段 $\overline{PQ}$ 的垂直平分線）

Accepted Answer

答案：$(1)(2)(4)$
$A$ 是對過原點直線 $L$ 的鏡射，故 $A^2=I$ 且 $\det A=-1$，又鏡射為對合 $A^{-1}=A$。由 $AB=-I$ 得 $B=A^{-1}(-I)=-A$。

(1) $AB=-I$，$BA=(-A)A=-A^2=-I$，故 $AB=BA$，**對**。

(2) $B=-A\Rightarrow A+B=0$，**對**。

(3) $\det B=\det(-A)=(-1)^2\det A=-1$，為鏡射而非旋轉，**錯**。

(4) $B^2=I$，故 $B$ 的反方陣為 $B=-A$，即 $-A$ 是 $B$ 的反方陣，**對**。

故選 $(1)(2)…