109指考數學甲多選第8題詳解

二階鏡射方陣 $A$ 滿足 $A^2 = I$（鏡射兩次等於恆等變換），所以 $A^3 = A \cdot A^2 = A$。 因為已知 $A^3 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$，所以 $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 為唯一可能。 二階旋轉方陣 $B$ 設其旋轉角為 $\phi$，則 $B$ 可表為 $\begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$。 $B^3$ 的旋轉角為 $3\phi$。 因為 $B^3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 代表旋轉 $180^\circ$，所以 $3\phi = 180^\circ + 360^\circ k$，$k$ 為整數。 解得 $\phi = 60^\circ + 120^\circ k$。在 $0^\circ \le \phi < 360^\circ$ 範圍內，$\phi = 60^\circ$、$180^\circ$、$300^\circ$，共三種。 選項 $(1)$：不正確。 因為 $A^3 = A$，所以 $A$ 只有一種可能，非三種。 選項 $(2)$：正確。 因為 $\phi = 60^\circ、180^\circ、300^\circ$ 三種，所以 $B$ 恰有三種可能。 選項 $(3)$：不正確。 因為鏡射與旋轉一般不可交換。例如取 $\phi = 60^\circ$ 的 $B$，則 $AB \neq BA$，所以並非對所有可能的 $B$ 均成立 $AB \neq BA$。 選項 $(4)$：不正確。 因為鏡射矩陣的行列式值為 $-1$，旋轉矩陣的行列式值為 $1$，兩者相乘的行列式值為 $-1$。而旋轉變換的行列式值必為 $1$，所以 $AB$ 不是旋轉變換，而是鏡射型變換。 選項 $(5)$：正確。 因為 $BA$ 為兩個正交矩陣相乘，仍為正交矩陣，且行列式值為 $-1$，故 $BA$ 為鏡射型矩陣。鏡射型矩陣滿足 $(BA)^2 = I$，所以 $B\,AB\,A = (BA)^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。 故選 $(2)(5)$。