對於正整數 $n$，設 $\left(1+i\right)^n=a_n+ib_n$，其中 $i=\sqrt{-1}$ 且 $a_n,b_n$ 為實數。
$(1)$ 試求 $a_4^2+b_4^2$ 之值。
$(2)$ 從恆等式 $\left(1+i\right)^{n+1}=\left(1+i\right)^n\left(1+i\right)$ 可推得 $a_n,b_n$ 會滿足矩陣乘法 $\begin{bmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix}$，試求矩陣 $T$。
$(3)$ 令 $P,Q$ 為坐標平面上異於原點 $O$ 的兩點，若矩陣 $T$ 在平面上定義的線性變換將 $P,Q$ 分別映射到點 $P^{\prime},Q^{\prime}$，試證 $\dfrac{\overline{OP^{\prime}}}{\overline{OP}}=\dfrac{\overline{OQ^{\prime}}}{\overline{OQ}}$ 且 $\angle POQ=\angle P^{\prime}OQ^{\prime}$。