103 指考數學甲第 12 題

Question

在坐標平面上以 $\Omega$ 表曲線 $y=x-x^2$ 與直線 $y=0$ 所圍的有界區域。
$(1)$ 試求 $\Omega$ 的面積。
$(2)$ 若直線 $y=cx$ 將 $\Omega$ 分成面積相等的兩塊區域，試求 $c$ 之值。

Accepted Answer

答案：$(1)\ \dfrac{1}{6}$
$(2)\ 1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
$(1)$ 面積為 $$\int_0^1\left(x-x^2\right)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{6}.$$
$(2)$ 直線 $y=cx$ 與曲線 $y=x-x^2$ 交於 $x=0$ 與 $x=1-c$。其中一塊面積為 $$\int_0^{1-c}\left(x-x^2-cx\right)\,dx=\int_0^{1-c}\left(\left(1-c\right)x-x^2\right)\,dx=\dfrac{\left(1-c\right)^3}{6}.$$ 令此面積等於 $\dfra…