103指考數學甲非選第12題詳解

區域 $\Omega$ 為曲線 $y = x - x^2$ 與 $x$ 軸（$y=0$）所圍的有界區域。因為兩者交於 $x=0$ 與 $x=1$，且在區間 $[0,1]$ 上 $x-x^2 \ge 0$，所以： $(1)$ 面積 $\displaystyle = \int_0^1 (x - x^2)\;dx = \left區間 $[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]$_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。 $(2)$ 直線 $y = cx$ 與曲線 $y = x - x^2$ 的交點：$cx = x - x^2$，得 $x^2 + (c-1)x = 0$，即 $x = 0$ 或 $x = 1-c$。 直線 $y = cx$ 將 $\Omega$ 分成兩塊，其中在直線下方的區域面積為： $$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^{1-c} 區間 $[(x-x^2) - cx]$\;dx &= \int_0^{1-c} 區間 $[x - x^2 - cx]$\;dx \\ &= \int_0^{1-c} 區間 $[(1-c)x - x^2]$\;dx \\ &= \left區間 $[\frac{(1-c)x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]$_0^{1-c} \\ &= \frac{(1-c)^3}{2} - \frac{(1-c)^3}{3} = \frac{(1-c)^3}{6} \end{aligned}$$ 因為直線平分 $\Omega$，所以令此面積等於總面積的一半 $\frac{1}{12}$： $\frac{(1-c)^3}{6} = \frac{1}{12}$，得 $(1-c)^3 = \frac{1}{2}$，即 $1-c = \frac{1}{\sqrt區間 $[3]${2}}$。 因此 $c = 1 - \frac{1}{\sqrt區間 $[3]${2}}$。