第一步：求出切線 $L$ 的方程式。 計算函數 $f(x) = x^3 + 4x - 2$ 的導函數： $$f'(x) = 3x^2 + 4$$ 在切點 $A(1, 3)$ 處，切線斜率為 $m = f'(1) = 3(1)^2 + 4 = 7$。 依點斜式，切線 $L$ 的方程式為： $$y - 3 = 7(x - 1) \implies y = 7x - 4$$ 第二步：求曲線 $y = f(x)$ 與切線 $L$ 的交點。 解聯立方程式： $$x^3 + 4x - 2 = 7x - 4 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$$ 由於 $x = 1$ 是切點，故 $x = 1$ 必為該方程式的重根。因式分解可得： $$(x - 1)^2(x + 2) = 0$$ 因此，曲線與切線的交點為 $x = 1$ 與 $x = -2$。 第三步：計算所圍區域的面積。 在 $[-2, 1]$ 區間內，曲線在直線的上方，所圍面積為定積分： $$\text{Area} = \int_{-2}^{1} (f(x) - (7x - 4)) \, dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) \, dx$$ 計算其不定積分： $$\int (x^3 - 3x + 2) \, dx = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x$$ 代入上限 $1$ 與下限 $-2$： $$\text{Area} = \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 \right) - \left( \dfrac{16}{4} - \dfrac{12}{2} - 4 \right) = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}$$ 答案為 $\dfrac{27}{4}$。