100指考數學甲選填第11題詳解

1. 平面 $E: ax + by + cz = 1$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = (a, b, c)$；平面 $F: x + y + z = 1$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_F = (1, 1, 1)$。 2. 由條件 $(1)$，兩法向量的夾角為 $30^\circ$： $$\cos 30^\circ = \frac{|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_F|}{|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E| |\overset{\large\rightharpoonup}{n}_F|} = \frac{|a+b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 設 $S = a + b + c > 0$（由條件 $(3)$），則 $|a+b+c| = S$，且 $$\frac{S}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \frac{2S}{3}.$$ 3. 由條件 $(2)$，點 $A(1, 1, 1)$ 到平面 $E$ 的距離為 $3$： $$\frac{|a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 - 1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{|S - 1|}{\frac{2S}{3}} = 3 \implies \frac{3|S - 1|}{2S} = 3 \implies |S - 1| = 2S.$$ 4. 因為 $S > 0$，所以 $S - 1 = 2S$ 或 $S - 1 = -2S$。前者得 $S = -1$（不合），後者得 $3S = 1 \implies S = \frac{1}{3}$。 故填 $\frac{1}{3}$。