設平面 $E$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = (a, b, c)$，平面 $F$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_F = (1, 1, 1)$。 根據條件 (1)，兩平面法向量的夾角滿足： $$\cos 30^\circ = \dfrac{|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_F|}{|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E| |\overset{\large\rightharpoonup}{n}_F|} \implies \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{3}}$$ 由條件 (3) $a+b+c > 0$，可去掉絕對值，並將方程式整理為： $$a+b+c = \dfrac{3}{2} \sqrt{a^2+b^2+c^2} \implies \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \dfrac{2}{3}(a+b+c)$$ 根據條件 (2)，點 $A(1, 1, 1)$ 到平面 $E: ax+by+cz-1=0$ 的距離為 $3$： $$d(A, E) = \dfrac{|a(1) + b(1) + c(1) - 1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = 3 \implies \dfrac{|a+b+c-1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = 3$$ 將前面求得的關係式 $\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \dfrac{2}{3}(a+b+c)$ 代入距離公式： $$\dfrac{|a+b+c-1|}{\dfrac{2}{3}(a+b+c)} = 3 \implies |a+b+c-1| = 2(a+b+c)$$ 令 $S = a+b+c > 0$，則不等式為 $|S-1| = 2S$： 1. 若 $S - 1 = 2S \implies S = -1$（不合，因為已知 $S > 0$）。 2. 若 $1 - S = 2S \implies 3S = 1 \implies S = \dfrac{1}{3}$（符合 $S > 0$）。 因此， $a+b+c = \dfrac{1}{3}$。 答案為 $\dfrac{1}{3}$。